ตำแหน่งที่ถูกต้อง• Evgeny Anikin, Evgeny Epifanov •งานวิทยาศาสตร์ที่เป็นที่นิยมใน "Elements" •คณิตศาสตร์ฟิสิกส์

การวางตำแหน่งที่แม่นยำ

งาน

หลายคนคุ้นเคยกับระบบนำทางด้วยดาวเทียม มีชื่อเสียงมากที่สุดคือ GLONASS ของรัสเซียและ GPS แบบอเมริกันขณะนี้มีการใช้งานเกือบทุกที่ในตัวนำทางรถยนต์และสมาร์ทโฟน โดยทั่วไปแล้วการทำงานของระบบเหล่านี้มีดังต่อไปนี้ ครอบครัวของดาวเทียมมีการประสานงานโดยศูนย์ควบคุมภาคพื้นดินเพื่อให้ดาวเทียมแต่ละดวงรู้ตำแหน่งและเวลาในการซิงโครไนซ์ ดาวเทียมส่งข้อมูลนี้ตลอดเวลา (พิกัดเชิงพื้นที่และเวลา) ไปยัง Earth และอุปกรณ์ผู้ใช้จะรับข้อมูลและพยายามคำนวณพิกัดในเวลาจริง

ขึ้นอยู่กับรูปแบบที่เรียบง่ายดังกล่าวบอกฉัน เท่าไหร่ ดาวเทียมควรจะต้อง "เห็น" ผู้รับของผู้ใช้ในเวลาเดียวกันเพื่อให้ถูกต้อง (กล่าวว่ามีข้อผิดพลาดภายใน 20 เมตร) กำหนดตำแหน่งของพวกเขา?


ช่วย

งานของผู้รับคือการคำนวณพิกัดจากข้อมูลที่มาจากดาวเทียม พิกัดมีสามตัวแปรเชิงพื้นที่ดังนั้นต้องมีสมการอย่างน้อยสามสมการเพื่อกำหนด (นั่นคือต้องการข้อมูลจากดาวเทียมอย่างน้อยสามดวง) พิจารณาวิธีสมการเหล่านี้จะได้รับในสถานการณ์ที่เรียบง่ายของเราและสำหรับสิ่งที่เหตุผลทางเทคนิคสามสมการเป็นจริงไม่เพียงพอ


การตัดสิน

ดังนั้นเครื่องรับของผู้ใช้กล่าวคือเครื่องนำทางได้รับสัญญาณจากดาวเทียมแต่ละดวงซึ่งมีสามพิกัดเชิงพื้นที่ของดาวเทียมและเวลาในการส่งสัญญาณนี้ ข้อมูลนี้เพียงพอที่จะแสดงระยะห่างจากดาวเทียมไปยังเครื่องนำทางได้สองวิธีและได้สมการที่จำเป็น

ถ้าต้องการพิกัดของเนวิเกเตอร์ (x, Y, Z) และพิกัดดาวเทียม (xs, Ys, Zs) แล้วโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสระยะทางระหว่างพวกเขาคือ

\ (\ sqrt {(x-x_s) ^ 2 + (y-y_s) ^ 2 + (z-z_s) ^ 2} \).

สัญญาณจากดาวเทียมแพร่กระจายที่ความเร็วของแสง กับดังนั้นหากปล่อยออกมาในช่วงเวลาหนึ่ง เสื้อ0และได้รับโดยการนำทางในขณะนี้ เสื้อ1แล้วระยะทางเท่ากัน (เสื้อ1เสื้อ0) นี้จะช่วยให้สมการ ข้อมูลจากดาวเทียมสามดวงช่วยให้คุณสามารถสร้างสมการสามสมการสำหรับสามสิ่งไม่ทราบ (x, Y, Z) จับคืออะไร?

ความจริงที่ว่าไม่ทราบจริงๆไม่ใช่สาม แต่สี่เพราะคุณไม่สามารถนับความแม่นยำสูงของนาฬิกาในตัวนำทางได้ ตัวอย่างเช่นข้อผิดพลาดของหนึ่งในสิบพันเปอร์เซ็นต์ – แทนที่จะใช้เวลาหนึ่งวินาทีนาฬิกาจะวัดได้ 1.000001 วินาทีและมีเพียงสองวินาทีครึ่งต่อวินาทีเท่านั้น – จะทำให้เกิดข้อผิดพลาดประมาณ 20 เมตรเมื่อกำหนดระยะทางไปยังดาวเทียมในนาฬิกาทั่วไปความถูกต้องของจังหวะนั้นลดลงไปหลายเท่าและจะมีการคูณข้อผิดพลาด ดังนั้นจึงมีการนำข้อมูลที่ไม่รู้จักอื่นมาคำนวณ – ข้อผิดพลาดนาฬิกาของตัวรับสัญญาณ ด้วยเหตุนี้จำเป็นต้องมีสมการอื่นซึ่งหมายความว่าต้องมีดาวเทียมอย่างน้อยสี่ดวง


เล่ม

ในระบบนำทางด้วยดาวเทียมจริงๆทุกสิ่งทุกอย่างมีความซับซ้อนมากขึ้น การคำนวณพิกัดของเนวิเกเตอร์ในหลาย ๆ ด้านจะพิจารณาถึงปัจจัยหลายอย่างที่ทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการกำหนดตำแหน่งที่แน่นอนนั่นคือปัญหาเกี่ยวกับการกำหนดตำแหน่งของดาวเทียมด้วยตัวเองสัญญาณรบกวนจากบรรยากาศและผลกระทบที่เกี่ยวกับความสัมพันธ์ การอภิปรายอย่างละเอียดเกี่ยวกับประเด็นเหล่านี้สามารถพบได้ในบทความการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดของ Global Positioning System ตลอดจนเอกสารที่ระบุไว้ในนั้น

ดาวเทียม GLONASS ตั้งอยู่ในวงโคจรวงกลมที่มีความสูง 19,400 กิโลเมตร ขณะนี้มีดาวบริวาร 27 ดวงอยู่ในกลุ่มดาวบริวาร 24 ดวงกำลังใช้งานตามวัตถุประสงค์ (อีก 2 แห่งอยู่ในเขตสงวนและอีก 1 แห่งกำลังอยู่ระหว่างการทดสอบ) จากรูปที่วงโคจรของดาวเทียมถูกแบ่งออกเป็นสามครอบครัว

วงโคจรของดาวเทียมของระบบ GLONASS (เส้นสีน้ำเงิน) ดาวเทียมถูกกำหนดด้วยตัวเอง จุดสีแดง. จุดสีเทา – ดาวเทียมอื่น ๆเห็นได้ชัดว่าโลกถูกปกคลุมไปด้วย "เมฆ" ของดาวเทียมในวงโคจรที่อยู่ใกล้โลกและครอบครัวของดาวเทียมในวงโคจรของธรณีวิทยาจะถูกมองด้วย รูปภาพจาก stuffin.space

คำถามต่อไปนี้เกิดขึ้น: จำนวนดาวเทียมขั้นต่ำที่ต้องการในการให้ความคุ้มครองที่สมบูรณ์ของโลกและเพื่อให้ทุกจุดมีดาวเทียมสี่ดวงที่มองเห็นได้จากทุกจุดบนพื้นผิว? แน่นอนที่นี่คุณจำเป็นต้องทำ simplifications จำนวนมากได้ทันทีลดงานให้เป็นรูปทรงเรขาคณิตหมดจด (จริงรูปทรงเรขาคณิตทรงกลมอยู่ที่นี่): Earth ควรถือเป็นทรงกลมวงโคจร – วงกลมที่มีศูนย์กลางตรงกลางศูนย์กลางทรงกลม เป็นไปได้โดยไม่ต้องใช้คอมพิวเตอร์เพื่อให้ได้ค่าประมาณจำนวนดาวเทียมที่ถูกต้องหรือไม่?

ตามการคำนวณของผู้เขียนของปัญหาในทางทฤษฎี 18 ดาวเทียมสามารถพอเพียงสำหรับ GLONASS ถ้าผู้อ่านคนใดได้รับคะแนนที่ต่ำกว่าด้วยวิธีง่ายๆ (และโดยปราศจากความช่วยเหลือจากคอมพิวเตอร์) เรายินดีที่จะค้นพบ โดยทั่วไปแล้วเหตุผลมีดังต่อไปนี้ ให้ดาวเทียมหกดวงหมุนไปตามแนวเส้นศูนย์สูตรประมาณรัศมี 25,800 กิโลเมตร จากนั้นจะสามารถคำนวณได้ว่าที่ละติจูดต่ำกว่า 60 °อย่างน้อยสองดวงจะมองเห็นได้เสมอ

อันที่จริงดาวเทียมในวงโคจรดังกล่าวสามารถมองเห็นได้จากวงกลมทรงกลมที่มีรัศมี

\ (\ alpha = \ frac \ pi2- \ mathrm % \ left (\ frac R {r_s} \ right) \ approx75 {,} 6 ^ \ circ \),

ที่ไหน R = 6400 km คือรัศมีของโลกและ Rs = 25 800 กม. – รัศมีวงโคจรของดาวเทียม คำว่า "รัศมี" (และการอ้างอิงอื่น ๆ ต่อความยาว) ต่อไปนี้หมายถึงรัศมีทรงกลมนั่นคือการวัดเชิงมุมของส่วนโค้งของวงกลมขนาดใหญ่ของทรงกลม เมื่อดาวเทียมมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในวงโคจรศูนย์ของวงกลมที่สอดคล้องกัน (พื้นที่ในการมองเห็น) อยู่ห่างกัน 60 °จากเส้นศูนย์สูตร ถ้าเราวาดสามวงดังกล่าวต่อเนื่องเป็นที่ชัดเจนว่าเหนือกลางตรงกลางมีโซนที่สามารถมองเห็นได้เพียงดวงเดียวเท่านั้น จุดต่ำสุดของโซนนี้คือจุดตัดของแวดวงที่อยู่ติดกับตรงกลาง ดังนั้นละติจูดสูงสุดของโซนจากที่สามารถมองเห็นได้อย่างน้อยสองดวงคือความสูงของทรงกลมสามเหลี่ยมที่มีด้านข้าง (2π / 3, α, α) ความสูงสามารถพบได้โดยสูตรของเนเปียร์เพราะมันแบ่งเหลี่ยมนี้ออกเป็นสองเท่าและก่อให้เกิดมุมฉากกับเส้นศูนย์สูตร

ดังนั้นสำหรับแต่ละวงโคจรจะมี "หมวก" แบบทรงกลมสองแบบที่มีรัศมีน้อยกว่า 30 °ซึ่งจะไม่สามารถมองเห็นดาวเทียมได้อย่างน้อยสองดวง สาม "หมวก" ดังกล่าวสามารถวางได้ง่ายบนซีกโลกโดยไม่มีทางแยก: คุณสามารถเรียงแถวตามวงกลมขนาดใหญ่ผ่านเสาพวกเขาจะไม่คลานไปทั่วซีกโลกเพราะ "การแก้ปัญหา" ของมุมกลางสำหรับแต่ละ "หมวก" มีค่าน้อยกว่า 60 °นั่นคือทั้ง 3 "หมวก" พอดีกับ 180 ° เมื่อมีการวางตำแหน่งด้วยวิธีนี้สามวงโคจรที่มีหกดวงในแต่ละดวงจะครอบคลุมทั้งโลกและจากแต่ละจุดบนพื้นผิวของโลกสี่ดวงจะมองเห็นได้เสมอ ถ้าเราอยู่ใน "หมวก" ของวงโคจรหนึ่ง ๆ แล้วเราจะอยู่นอกสอง "หมวก" อื่น ๆ และในแต่ละสองวงโคจรที่คล้ายกันเรามักจะเห็นอย่างน้อยสองดวง


Like this post? Please share to your friends:
ใส่ความเห็น

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: