จุดและเส้น• Nikolay Avilov •ปัญหาวิทยาศาสตร์ยอดนิยมในหัวข้อ "องค์ประกอบ" •คณิตศาสตร์

จุดและตรง

งาน

ขณะที่เรากำลังสอนในโรงเรียนในบทเรียนเรขาคณิตผ่านสองจุดต่าง ๆ คุณสามารถวาดเส้นตรงได้ เราสามารถพูดได้ว่าคู่ของจุดกำหนดเส้นที่ไม่ซ้ำกัน แต่ถ้ามีคะแนนมากกว่าจำนวนบรรทัดที่กำหนดอาจแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นขึ้นอยู่กับตำแหน่งของมันสามจุดสามารถกำหนดสามเส้นตรง (ถ้าจุดเหล่านี้เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมที่ไม่เลวร้าย) หรือเส้นตรงหนึ่งเส้น (ถ้าจุดเหล่านี้เป็น collinear นั่นคืออยู่บนเส้นตรงหนึ่งเส้น) หากมีจุดมากขึ้นมีโอกาสมากขึ้นสำหรับการจัดการร่วมกันของพวกเขาจึงคำตอบสำหรับคำถามว่า "กี่คนโดยตรงกำหนดเหล่านี้ n จะมีจุดมาก "แต่งานนี้มีข้อเสนอเพื่อจัดการกับการกำหนดค่าเฉพาะของจุดและเราจะพูดถึงคำถามทั่วไปบางอย่างในภายหลัง

มะเดื่อ 1

ก) บนกระดาษที่เป็นตาข่ายเราใช้สี่เหลี่ยมที่มีด้านห้าเซลล์และทำเครื่องหมายทุกจุดภายในและขอบของมัน – เราได้รับ 36 จุดในรูปแบบของตาข่ายสี่เหลี่ยม 6 × 6 (รูปที่ 1) มีกี่คน กำหนดประเด็นเหล่านี้โดยตรงหรือไม่? และถ้า 64 คะแนน (ในรูปแบบของตาราง 8 × 8)?

ข) ความยาวของขอบของจัตุรมุขปกติเท่ากับ 4 ในแต่ละจุดมีเครื่องหมายสามจุดแบ่งขอบเป็นส่วนของหน่วย ยังมีการทำเครื่องหมายท็อปส์ของจัตุรัส มีกี่คน เส้นกำหนดจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ทั้งหมด?


ช่วย

พยายามนับจำนวนบรรทัดที่กำหนดโดยจำนวนจุดที่น้อยลง – 4, 9 หรือ 16 คะแนน ถ้าคำตอบคือ 6, 20 และ 62 โดยตรงจากนั้นคุณจะได้ถูกติดตาม

ความยากลำบากหลักคือบางเส้นตรงผ่านไปได้เพียงผ่านจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ 2 จุดและบางจุดผ่านจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ 3 จุดขึ้นไป เมื่อแก้ปัญหาเป็นสิ่งสำคัญในการจัดระบบการนับโดยตรง


การตัดสิน

เราแบ่งเส้นตรงทั้งหมดเป็นเส้นตรงของเส้นตรง เส้นตรงที่มีความชันอยู่ในแต่ละชั้น k.

มะเดื่อ 2 บางส่วนของชั้นเรียนของเส้นคู่ขนาน

ในรูป แสดงชั้นเรียนบางส่วน ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของพวกเขายกเว้น 0 และ 1 เป็นเศษส่วนที่ถูกต้องลดลงได้ทั้งหมดส่วนที่ไม่เกิน 5 เพื่อให้ได้ชั้นเรียนทั้งหมดโดยทั่วไปคุณจะต้องคำนึงถึงความสมมาตรของภาพ ดังนั้นเมื่อคำนวณ – และตัวเลขที่เหลือเพียงเพื่อเพิ่ม – จำนวนบรรทัดในชั้นเรียนที่มี k = 0 และ k = 1 ต้องเพิ่มเป็นสองเท่าและในชั้นเรียนอื่น ๆ – สี่ครั้ง ผลลัพธ์คือ 2 × (6 + 9) + 4 × (5 + 4 + 3 + 2 + 10 + 6 + 15 + 12 + 12) = 306 บรรทัด

การคำนวณที่เหมือนกันสำหรับ 64 คะแนนจะให้ 938 บรรทัด

ตอนนี้เราจะจัดการกับจัตุรมุข ปัญหานี้สามารถพิจารณาได้ในรูปแบบทั่วไป ปล่อยให้กรอบของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีขอบยาว ม. หารด้วยจุดเป็นกลุ่มเดียวจำนวนเส้นตรงที่ต่างกันกำหนดจุดเหล่านี้และจุดยอดของจัตุรมุขได้อย่างไร?

จัตุรมุขมี 4 vertices และ 6 edge ร่วมกับจุดยอดและหารจุดบนโครงร่างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีการทำเครื่องหมาย 4 + 6 (ม. − 1) = 6ม. – 2 คะแนน ถ้าจุดเหล่านี้อยู่ในตำแหน่งทั่วไป (นั่นคือไม่มีสามคนอยู่ในบรรทัดเดียวกัน), แล้วพวกเขาก็จะกำหนด (6.ม. − 2)(6ม. − 3)/2 = (3ม. − 1)(6ม. – 3) เส้นตรง (เพราะถ้าจุดอยู่ในตำแหน่งทั่วไปแล้วทั้งสองเส้นจะกำหนดเส้นตรงของตัวเอง) ตอนนี้เราต้องคำนึงถึงว่าในแต่ละด้านของจัตุรมุขมีเครื่องหมายกำกับอยู่ ม. + 1 จุดไม่อยู่ในตำแหน่งทั่วไป ถ้าจุดเหล่านี้อยู่ในตำแหน่งทั่วไปพวกเขาจะกำหนด ม.(ม. + 1) / 2 เส้นตรง แต่ทุกเส้นตรง – นี่คือเส้นที่มีขอบของจัตุรมุข จำนวนบรรทัดทั้งหมดที่กำหนดโดยจุดที่ระบุคือ (3ม. − 1)(6ม. − 3) − 6·ม.(ม. + 1) / 2 + 6 หลังจากการทำให้เข้าใจง่ายเราจะได้ 15ม.2 − 18ม. + 9 เส้นตรง ในงานของเรา ม. = 4 ดังนั้นคำตอบคือ 177 บรรทัด


เล่ม

ถ้าเราใช้เหตุผลที่เราใช้ในการตอบคำถามแรกของปัญหาเราสามารถหาคำตอบสำหรับสี่เหลี่ยมอื่นได้จาก n2 จุด นี่เป็นเพราะ n จาก 2 ถึง 10: 6, 20, 62, 140, 306, 536, 938, 1492, 2306 ลำดับนี้รวมอยู่ในสารานุกรมออนไลน์ของลำดับจำนวนเต็มภายใต้หมายเลข A018808

มีสูตรง่ายๆในการแสดงจำนวนหรือไม่ ยังไม่มีข้อความ บรรทัดดังกล่าวสำหรับโดยพลการ n? ลองมาหาเธอ

เราใช้ข้อมูลที่เป็นที่รู้จักสองแบบจากรูปเรขาคณิตของอุบัติการณ์

1) ถ้าอยู่บนเครื่องบินเห็บ k จุดในตำแหน่งทั่วไป (จำได้ว่านั่นหมายความว่าไม่มีจุดสามจุดเหล่านี้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว) จากนั้นจำนวนเส้นตรงที่ต่างกันกำหนดโดยจุดเหล่านี้จะเท่ากับ k(k − 1)/2.

เราใช้คำแถลงนี้ในการแก้ปัญหาและสามารถพิสูจน์ได้โดยการปฐมนิเทศ

2) ถ้าบนเครื่องบินเห็บ k จุดที่ไม่ได้อยู่ในบรรทัดเดียวกันจากนั้นจะกำหนดอย่างน้อย k เส้นตรงที่แตกต่างกัน

คำพูดที่สองฟังดูค่อนข้างชัดเจน แต่มันได้รับการพิสูจน์เป็นครั้งแรกในช่วงกลางของศตวรรษที่ยี่สิบและบัดนี้เป็นที่รู้จักในฐานะทฤษฎีบทของ The Bruin – Erdos

จากคุณสมบัติทั้งสองนี้คุณสามารถประมาณค่าได้ ยังไม่มีข้อความ(n) ใช้ความเป็นจริงที่สองเราได้รับขอบเขตล่าง: ยังไม่มีข้อความ(n) ≥ n2. ใช้ความเป็นจริงครั้งแรกเราได้รับการประมาณการด้านบน: ยังไม่มีข้อความ(n) ≤ n2(n2 – 1) / 2 คือจำนวนเส้นที่กำหนด n2 จุดทั่วไป

ซึ่งหมายความว่าถ้ามีสูตร N (n) ในรูปแบบของพหุนามจาก n, และนี่อาจเป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุดของสูตร – พหุนามนี้สามารถมีได้เพียง 2, 3 หรือ 4 องศาเท่านั้น ใช้ค่าแรก ๆ ข้างต้น ยังไม่มีข้อความโดยใช้วิธีสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนสามารถแสดงให้เห็นว่าไม่มีสูตรในรูปแบบของพหุนามดังกล่าว

ลองใช้วิธีอื่นและอธิบายวิธีการนับเส้นโดยแบ่งชั้นเรียนแบบคู่ขนานให้เป็นชั้นเรียน แต่ละชั้นมีเส้นคู่ขนานทั้งหมดที่มีสัมประสิทธิ์เชิงมุม k = / (ต่อไปนี้เศษส่วนเป็นปกติลดลง)

เนื่องจากเส้นบนระนาบใดที่กำหนดโดยค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมและหนึ่งจุดสำหรับแต่ละชั้นด้วย k = / ในจุดประดับเลือกจุดที่กำหนดเส้นทั้งหมดของชั้นนี้ ในกรณีนี้สามารถทำได้สองกรณี:
1) ถ้า < n/ 2 แล้วกำหนดจุดเส้นตรงทั้งหมดที่มีสัมประสิทธิ์เชิงมุม /, อยู่ภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีฟ้าและสีเขียวที่แสดงไว้ทางซ้ายในรูป 3 และของพวกเขา ·(n) + ·(n − 2) = n·( + ) − 3AB;
2) ถ้า n/ 2 แล้วกำหนดจุดเส้นตรงทั้งหมดที่มีสัมประสิทธิ์เชิงมุม /, อยู่ภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีฟ้าที่แสดงด้านขวาในรูป 3 และพวกเขา (n) (n).

มะเดื่อ 3 จุดด้วยความช่วยเหลือซึ่งคุณสามารถกำหนดเส้นทั้งหมดจากชั้นที่ระบุในตาราง 100 จุด ตัวอย่างซ้ายสำหรับ k = 2/3 ทางด้านขวา – สำหรับ k = 2/7

จำนวน ยังไม่มีข้อความ(/a) เส้นตรงในชั้น c k = / เท่ากับจำนวนจุดที่เลือกและคำนวณโดยใช้สูตรข้างต้น

ดังนั้นจำนวน ยังไม่มีข้อความ(nทั้งหมดตรงให้ n2 คะแนนสามารถคำนวณได้จากสูตร:

\ n (n) = 2 (N_0 + N_1) +4 \ sum \ limits_ {b = 2} ^ {n-1} \ sum \ limits_ {a = 1} ^ {b-1} N \ left (\ frac ab \ right) \]

ที่ไหน ยังไม่มีข้อความ0 = n – จำนวนเส้นแนวนอน ยังไม่มีข้อความ1 = 2n – 3จำนวนเส้นคู่ขนานกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยม สูตรนี้ใช้งานง่ายและตรวจสอบว่าผลลัพธ์ตรงกับที่ใด

หนึ่งยังสามารถได้รับความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นซ้ำสำหรับจำนวนเส้นตรงที่กำหนดโดยจุดสี่เหลี่ยม แต่พวกเขายังเปิดออกจะค่อนข้างยุ่งยาก สำหรับรายละเอียดโปรดดูที่บทความ S. Mustonen, 2009. บนเส้นและจุดตัดกันของพวกเขา

อาร์กิวเมนต์ที่ได้รับสำหรับจัตุรมุขที่ถูกต้องในการแก้ปัญหาการทำงานสำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่นูนออกซึ่งในทุกขอบมีค่าเท่ากับกันและกัน ในความเป็นจริงไม่มี tetrahedron เฉพาะคุณสมบัติถูกนำมาใช้ทุกที่เพียงจำนวนจุดและขอบของมันถูกนำเข้าบัญชี เหตุผลก็คือซ้ำคำเกือบทุกคำ

ให้ u เป็น polyhedron B จุดยอดและ P กระดูก ร่วมกับจุดยอดและแบ่งจุดบนกรอบรูปหลายเหลี่ยมที่มีเครื่องหมายไว้ + P(ม. – 1) จุด ถ้าจุดเหล่านี้อยู่ในตำแหน่งทั่วไปแล้วจะกำหนด \ (\ frac12 (B + P (m-1)) (B + P (m-1) -1) \) เส้น) แต่ในแต่ละขอบของรูปหลายเหลี่ยมจะมีเครื่องหมาย (ม. + 1) จุดที่ถ้าอยู่ในตำแหน่งทั่วไปจะเป็นตัวกำหนด ม.(ม. + 1) / 2 เส้นตรง แต่ให้ระบุเส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่มีขอบ ซึ่งหมายความว่าต้องลบทั้งหมดออกจากจำนวนทั้งหมดและต้องเพิ่มจำนวนของเส้นที่มีขอบ ประสบความสำเร็จ

\ [\ dfrac12 (B + P (m-1)) (B + P (m-1) -1) -P \ cdot \ dfrac12m (m + 1) + P .. ]


Like this post? Please share to your friends:
ใส่ความเห็น

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: