ต้นคริสต์มาสและโคมไฟ• Konstantin Knop, Evgeny Epifanov •งานวิทยาศาสตร์ยอดนิยมเรื่อง "Elements" •คณิตศาสตร์

ต้นคริสต์มาสและโคมไฟ

งาน

บนลานขนาดใหญ่และใหญ่มากในวันส่งท้ายปีเก่ามีต้นคริสต์มาสจำนวนมากและโคมไฟหลายแห่งติดตั้งและมีต้นคริสต์มาสมากกว่าโคมไฟ สามารถทำได้ไหม มันจะเปิดออกที่ที่ระยะทาง 1 เมตรจากต้นไม้แต่ละไฟตรง 8? (ต้นคริสต์มาสและโคมไฟถือเป็นจุด ๆ และพื้นที่แบน)


เคล็ดลับ 1

ใช่มันอาจจะ


เคล็ดลับ 2

พยายามหาแนวทางแก้ปัญหาให้ง่ายขึ้น: เมื่อระยะห่าง 1 เมตรจากต้นไม้แต่ละต้นจะมีโคมไฟ 2 แห่งและต้นไม้มากกว่าโคมไฟ


การตัดสิน

ก่อนอื่นเราจะพูดถึงกรณีที่ง่ายกว่าจากปลาย 2 วางไฟในช่องสี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ด้านข้าง 2 เมตรและต้นคริสต์มาสตรงกลางของส่วนทั้งหมดระหว่างสองไฟที่อยู่ติดกัน ถ้าด้านใดด้านหนึ่งเป็น ยังไม่มีข้อความ โคมไฟแล้วโคมไฟทั้งหมดจะเป็น ยังไม่มีข้อความ2. Yolok กับ 2ยังไม่มีข้อความ(ยังไม่มีข้อความ – 1) เนื่องจากครึ่งหนึ่งของพวกเขาอยู่ในแนวตั้งและครึ่งบนแนวนอน แล้วที่ ยังไม่มีข้อความ = 3 ต้นจะมากกว่าโคมไฟ รูปที่ 1 แสดงสถานการณ์เมื่อ ยังไม่มีข้อความ = 5: บนพื้นที่ของ 25 โคมไฟและ 40 ต้นคริสต์มาส

มะเดื่อ 1

ในการแก้ปัญหาหลักเราจะเก็บตำแหน่งของโคมไฟไว้และเกือบทุกต้นคริสต์มาส (ซึ่งไม่เป็นไปตามเงื่อนไขเพียงแค่นำออกจากสี่เหลี่ยมจัตุรัส) แล้วสิ่งที่สามารถเปลี่ยนแปลงได้? ข้อดีที่สุดคือเปลี่ยนหน่วยวัดซึ่งก็คือมิเตอร์ เร็ว ๆ นี้จะชัดเจนว่าทำไม

สมมติว่ามีพื้นที่ขนาดใหญ่ที่ต้นไม้และโคมไฟตั้งอยู่ในลักษณะเดียวกับในตัวอย่างที่ถูกถอดออกมาข้างต้น อันดับแรกให้ตอบคำถามนี้: มีวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ในต้นคริสต์มาสซึ่งมีโคมไฟอยู่ 8 ดวงหรือไม่? เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าต้นไม้ต้นนี้อยู่ที่จุดเริ่มต้นของพิกัดและแกนพิกัดจะวิ่งขนานไปกับส่วนที่เชื่อมต่อโคมไฟที่ใกล้ที่สุด (ปล่อยให้แกน abscissa ไปตามส่วนที่ต้นไม้ของเรายืน) จากนั้นไฟจะมีพิกัดของแบบฟอร์ม (2k + 1, 2ล.) ที่ไหน k และ ล. – จำนวนเต็ม (หน่วยของมาตราส่วน – เมตรซึ่งเรายังไม่ได้เปลี่ยนแปลง) ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสสแควร์ของระยะทางจากโคมไฟที่มีพิกัด (2k + 1, 2ล.) ไปที่ต้นไม้คือ (2k + 1)2 + (2ล.)2. จำนวนเงินดังกล่าวสามารถเท่ากันสำหรับคู่ที่แตกต่างกันของจำนวนเต็ม (k, ล.) ตัวอย่างเช่น 12 + 82 = 72 + 42 = 65 ซึ่งหมายความว่าไฟที่จุด (7, 4) และ (1, 8) อยู่ในระยะเท่ากันจากต้นไม้ แต่แล้วในระยะห่างเดียวกันจากนั้นยังมีไฟซึ่งอยู่ที่จุด (-7, 4), (7, -4), (-7, -4), (-1, 8), (1, -8) , (-1, -8) และหลอดไฟทั้งหมดจะเท่ากับ 8 (ในรูปที่ 2 จะแสดงเป็นสีน้ำเงินเพื่อความชัดเจนวงกลมจะถูกดึงผ่านพวกเขา) โดยทั่วไปเราไม่ได้พิสูจน์ว่าจะมีไม่เกินแปดคน แต่การออกกำลังกายแบบง่ายๆนี้จะทำให้ผู้อ่านตัดสินใจได้อย่างอิสระ

มะเดื่อ 2

ตอนนี้เราพร้อมแล้วสำหรับการ "เปลี่ยนแปลงมิเตอร์" ที่สัญญาไว้ ตอนนี้ปล่อยให้ เมตรใหม่ จะเป็นรัศมีของวงกลมมากนี้ซึ่งเราพบไฟ 8 ดวง จากนั้นสำหรับต้นคริสต์มาสทั้งหมดที่มี "ภายในฉากสี่เหลี่ยมจัตุรัส" จะทำให้เงื่อนไขเกี่ยวกับไฟ 8 ดวงเสร็จสมบูรณ์ มันยังคงอยู่ในการคำนวณว่า "ภายในลึก" คืออะไร ต้นไม้ควรอยู่ด้านขวาและซ้ายของมันมี 7 "เมตรเก่า" และด้านบนด้านล่างบน 8 "เมตรเก่า" โคมไฟ จำนวนต้นไม้เหล่านี้เป็นจำนวนเท่าใดในส่วนแนวนอนถ้าจำนวนของโคมไฟด้านข้างของสี่เหลี่ยมเท่ากับ ยังไม่มีข้อความ? เราต้องเอาต้นไม้ของแถวบนและล่างสี่แถวและต้นไม้ของสามส่วนที่เหลือทั้งสามด้านขวา นั่นคือในทุกแถวแนวนอนตอนนี้ ยังไม่มีข้อความ – ต้นคริสต์มาส 7 ต้น (และไม่ ยังไม่มีข้อความ – 1, เหมือนเดิม) และตอนนี้มีแถวต่างๆเช่น ยังไม่มีข้อความ – 8 ไม่ได้ ยังไม่มีข้อความ. เดียวกันอาจกล่าวได้เกี่ยวกับต้นไม้บนแถวตามแนวตั้งดังนั้นจำนวนต้นไม้ทั้งหมด 2 (ยังไม่มีข้อความ − 7)(ยังไม่มีข้อความ8) ความไม่เสมอภาค 2 (ยังไม่มีข้อความ − 7)(ยังไม่มีข้อความ − 8)>ยังไม่มีข้อความ2 ดำเนินการที่ ยังไม่มีข้อความ ≥ 26 (รูปที่ 3) ด้วยเช่นกัน ยังไม่มีข้อความ สภาพของงานจะสำเร็จ

มะเดื่อ 3


เล่ม

โปรดทราบว่าในโซลูชันของเราเราใช้แนวคิดที่ใกล้เคียงกับที่ได้รับการพิจารณาในแวดวงของงานบนกระดาษเชือก อธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับวิธีการค้นหาบนระนาบที่มีหมุดเป็นวงกลมที่ผ่านจำนวนโหนดกริดที่ระบุนอกจากนี้เรายังทราบว่างานของเราสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีอื่น: ดูคำตอบของปัญหา M1129 จาก "Questbook" ของ "Quest"

โดยทั่วไปปัญหาของการกำหนดค่าของจำนวนจุดที่แน่นอนบนเครื่องบินที่จะตอบสนองคุณสมบัติบางอย่างเป็นจำนวนมาก ดูเหมือนว่าสิ่งเหล่านี้ควรเป็นคำถาม "เด็ก ๆ " เหมือนของเรา แต่ปัญหาดังกล่าวหลายเรื่องกลายเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีความซับซ้อนและมีความเชี่ยวชาญในการทำงาน สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่อุทิศให้กับปัญหาที่คล้ายคลึงกัน – เรขาคณิตแบบผสมผสาน – พัฒนาขึ้นในช่วงศตวรรษที่ XX และ Paul Erdos มีส่วนร่วมในกระบวนการนี้

ปัญหาหลายอย่างของรูปทรงเรขาคณิตแบบผสมผสานทำให้เกิดความเรียบง่ายในสูตรของพวกเขา ตัวอย่างเช่น เพื่อพิสูจน์ว่าถ้าไม่ใช่ทุกจุดในเซตอยู่บนเส้นหนึ่งเส้นนั้นจะมีเส้นที่ผ่านจุดสองจุดนี้ออกไป นี่คือทฤษฎีบททฤษฎีบท Sylvester-Gallai ซึ่งได้รับการแก้ไขมาแล้วค่อนข้างนาน แต่เป็น befits ปัญหาที่ดีคำถามอื่น ๆ ตามมาจากมันตั้งแต่ทฤษฎีบทนี้ระบุว่าต้องมีอย่างน้อยหนึ่งเส้นตรงผ่านจุดสองจุดว่าหลายเส้นดังกล่าวจะมี? สองสามปีที่ผ่านมาบทความที่อุทิศให้กับปัญหานี้ได้รับการเผยแพร่โดย Terence Tao ซึ่งแสดงให้เห็นอีกครั้งว่าจากคำถามง่ายๆไปจนถึงการตัดขอบของวิทยาศาสตร์มักจะมีวิธีการสั้น ๆ

ผู้เขียนปัญหาและแนวทางแก้ไข: Konstantin Knop
ผู้เขียน postword: Evgeny Epifanov


Like this post? Please share to your friends:
ใส่ความเห็น

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: