ทฤษฎีกลุ่มเป็นศาสตร์แห่งความสมบูรณ์แบบ สัจพจน์ของกลุ่ม

ทฤษฎีกลุ่ม – ศาสตร์แห่งความเป็นเลิศ

Evgeny Vdovin

  • การแนะนำ
  • นิยามและสัญกรณ์เริ่มแรก
  • สัจพจน์ของกลุ่ม
  • กลุ่มตัวอย่าง
  • ข้อสรุป

สัจพจน์ของกลุ่ม

ในส่วนนี้จะสิ้นสุดข้อความที่ไม่ได้ขึ้นต้นด้วย . ย่อหน้าสองย่อหน้าต่อไปคือย่อหน้าสุดท้ายซึ่งการอ่านไม่จำเป็นต้องใช้ความพยายามเป็นพิเศษ

พิจารณาโรงภาพยนตร์เดียวกันของเมืองเขต N และสมมติว่าช่วงหนึ่งของการประชุมเป็นมุมมองของผู้ชมที่จะจัดให้มีการแลกเปลี่ยนตั๋วตามกฎบางประการ ยกตัวอย่างเช่นอันดับแรกของแต่ละแถวจะมีการเปลี่ยนแปลงด้วยอันดับที่สองสามและสี่ขึ้นไปดังนั้นทุกคนจะอยู่ด้านเดียวกับตัวเขาเองทุกคนมีตั๋วและในทางกลับกันทุกคนสามารถเปลี่ยนสถานที่ได้ ถ้าตอนนี้เราแลกเปลี่ยนกันตามกฎอื่น ๆ แล้วหนึ่งในสามผลลัพธ์ที่ได้คือทุกคนมีตั๋วเดียว – จะไม่เปลี่ยนแปลง ในกรณีนี้คำสั่งของการเชื่อมโยงไปถึงสามารถเปลี่ยนแปลงได้ค่อนข้างมากเมื่อเทียบกับการเริ่มต้น การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเป็นสมมาตรของหลาย ๆ ที่ (หรืออย่างแม่นยำมากขึ้นผู้ชมจำนวนมาก) และไม่ว่าเราจะดำเนินการต่อไปกี่ครั้งคุณลักษณะหลักที่ผู้ดูทุกคนจะเห็นได้ว่าบัตรเดียวจะไม่เปลี่ยนแปลงถ้าการดำเนินการตามลำดับของการแลกเปลี่ยนตั๋วเรียกว่า "การคูณ" (แม้ว่าจะห่างไกลจากการคูณที่แท้จริงซึ่งเราคุ้นเคยกันทั้งหมด) แล้วชุดของการแลกเปลี่ยนทั้งหมดด้วย "การคูณ" ดังกล่าวจะก่อให้เกิดโครงสร้างเกี่ยวกับพีชคณิตที่สำคัญมาก ๆ โดยทั่วไปแล้วกลุ่มใดก็ตามคือชุดของสมมาตรของวัตถุ (ชุด) ซึ่งจะมีการคูณให้มากที่สุดเท่าที่จะทำได้ด้วยการแลกเปลี่ยนตั๋ว – การดำเนินการตามลำดับ

ดังนั้นกลุ่มสมมาตรของวัตถุมีขนาดใหญ่ขึ้นจึงมีสมมาตรมากขึ้น ระลึกได้ว่ายิ่งสมมาตรมากขึ้นเท่าไรวัตถุที่สมบูรณ์แบบมากขึ้นเราก็จะเห็นได้ว่าขนาดของกลุ่มสมมาตรมีบทบาทในการวัดความสมบูรณ์ของวัตถุเฉพาะ พิจารณารูปร่างปกติบนเครื่องบิน: รูปสามเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมหกเหลี่ยมและวงกลม พวกเขาเป็นตัวเลขสมมาตรทั้งหมด แต่พวกเขาจะสมมาตรในรูปแบบที่แตกต่างกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมมีเพียงสมมาตรเพียงหกส่วนเท่านั้นคือการหมุนรอบศูนย์กลางของมวล (จุดตัดกันของเส้นมัธยฐาน) ที่มุมที่เป็นหลายจุด 120 องศา (เช่นผลัดกัน 3) และการสะท้อนความสัมพันธ์กับค่ามัธยฐาน (มี 3 ภาพสะท้อนดังกล่าวด้วย) สแควร์มีอยู่แล้ว 8 symmetries: หันไปรอบ ๆ จุดศูนย์กลาง (จุดตัดกันของเส้นทแยงมุม) ที่มุม 90 องศา (มี 4 รอบดังกล่าว)(มีสองของพวกเขา) และเส้นตรงใด ๆ ที่เชื่อมต่อ midpoints ของด้านตรงข้ามของตาราง (นอกจากนี้ยังมีสองของพวกเขา) รูปหกเหลี่ยมมี 12 สมมาตร (เราเสนอผู้อ่านให้แสดงรายการทั้งหมด) และวงกลมของสมมาตรมีจำนวนอนันต์ – นี่คือการเลี้ยวที่มุมใด ๆ และสมมาตรเกี่ยวกับเส้นตรงใด ๆ ที่ผ่านศูนย์กลางของวงกลม ดังนั้นรูปที่สมบูรณ์แบบที่สุดคือวงกลมแล้วรูปหกเหลี่ยมตามด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูปที่สมบูรณ์แบบน้อยที่สุดคือรูปสามเหลี่ยม

ไปสิ้นสุด

ให้ G – ชุดโดยพลการและสมมติว่าได้รับการดำเนินการแบบไบนารี (สองครั้งจากสองอาร์กิวเมนต์) "-" โดยปกติจะเรียกว่า โดยการคูณซึ่งสำหรับสององค์ประกอบ , ของชุดนี้จะเชื่อมโยงกับองค์ประกอบที่ระบุโดย · หรือเพียงแค่ AB. ด้วยองค์ประกอบนี้ AB มันเรียกว่า ผลิตภัณฑ์ ธาตุ และ . ถ้ามีเงื่อนไขสามประการต่อไปนี้ได้รับการเติมเต็ม (เรียกว่า สัจพจน์กลุ่ม):

(TR1)
สำหรับสามคน , , ของ G ความเสมอภาคที่แท้จริง (AB) = (ก่อนคริสต์ศักราช) (กฎหมายของการเชื่อมโยง);

(GR2)
มีองค์ประกอบดังกล่าว อีสำหรับรายการใด ๆ ของ G ความเสมอภาคที่แท้จริง AE = EA = (การดำรงอยู่ของหน่วย); องค์ประกอบดังกล่าว อี มันเรียกว่า โดยหนึ่ง กลุ่ม;

(GR3)
สำหรับรายการใด ๆ ของ G มีองค์ประกอบดังกล่าว นั่นคือความเสมอภาคที่แท้จริง AB = บริติชแอร์เวย์ = อี (การดำรงอยู่ของสิ่งที่ตรงกันข้าม); องค์ประกอบดังกล่าว มันเรียกว่า ผกผันสำหรับ a และแสดงด้วย -1;

แล้วมาก G เทียบกับรูปแบบการดำเนินการคูณ กลุ่ม. ถ้าในเวลาเดียวกันอีกหนึ่งความจริงจะเป็นจริง:

(GR4)
สำหรับรายการใด ๆ , ของ G ความเสมอภาคที่แท้จริง AB = บริติชแอร์เวย์ (กฎหมายการแลกเปลี่ยน)

จากนั้นจะเรียกกลุ่ม สับเปลี่ยน หรือ ศาสนาคริสต์. ตัวอย่างของกลุ่มต่างๆเช่นเดียวกับสถานการณ์ทางธรรมชาติในกลุ่มที่ปรากฏเราจะกล่าวถึงด้านล่าง ตัวอย่างที่ชัดเจนคือชุดของจำนวนเต็มโดยการบวกการตั้งค่าของจำนวนที่มีเหตุผลด้วยการคูณและอื่น ๆ หมายเหตุผลง่ายๆของสัจพจน์ของกลุ่ม: องค์ประกอบของหน่วยและองค์ประกอบผกผันจะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน อันที่จริงสมมติว่ามีสององค์ประกอบย่อย อี1, อี2จากนั้นการประยุกต์ใช้ความจริง (GR2) จะทำให้เรามีความเสมอภาคต่อไปนี้ อี1 = อี1อี2 = อี2. ในทำนองเดียวกันถ้าสำหรับองค์ประกอบบางอย่าง มีสองผกผัน 1, 2จากนั้นใช้สัจพจน์ (GR1) – (GR3) เราจะได้สมการต่อไปนี้ 1 = 1อี = 1(AB2) = (1)2 = EB2 = 2.

ถ้า M – เซตย่อยย่อยของกลุ่ม Gจากนั้นเราสามารถพิจารณาการคูณในชุด Mซึ่งเป็นแผนที่·: M × MG. การทำงานในชุด M เราจะโทร ที่ชักนำ การทำงาน เซตย่อย H กลุ่ม G มันเรียกว่า กลุ่มย่อยถ้าเป็นกลุ่มที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินงานที่เกิดขึ้น ง่ายต่อการตรวจสอบว่าเซตย่อยเป็นกลุ่มย่อยถ้าปิดด้วยความเคารพต่อผลิตภัณฑ์ (กล่าวคือสำหรับสองกลุ่มย่อย ชั่วโมง1, ชั่วโมง2 H องค์ประกอบ ชั่วโมง1 · ชั่วโมง2 อยู่อีกครั้ง H) และปิดด้วยความเคารพในการย้อนกลับ (เช่นสำหรับใด ๆ ) ชั่วโมง H องค์ประกอบ ชั่วโมง-1 อยู่อีกครั้ง H) เขียนสั้น ๆ ว่า HH H และ H-1 H. แถลงการณ์เพิ่มเติม "H เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่ม G"เราจะเขียนสั้น ๆ ดังต่อไปนี้ HG.

ให้ G เป็นกลุ่มโดยพลการ H – กลุ่มย่อยและ ก. – องค์ประกอบกลุ่มโดยพลการ G. เป็นจำนวนมาก ปรอท = {hg | ชั่วโมง H} เรียกว่า ชั้นถัดไป (ขวาชั้นถัดไป) องค์ประกอบ ก.. เราแนะนำความสัมพันธ์ ก.1ก.2 (สมัย H) ในชุดขององค์ประกอบของกลุ่ม G ตามกฎ: ก.1ก.2 (สมัย H) ในนั้นและเฉพาะในกรณีที่ ปรอท1 = ปรอท2. การใช้สัญกรณ์คล้ายกับอัตราส่วนของจำนวนเต็ม (ดูด้านบน) ไม่ใช่เรื่องบังเอิญเนื่องจากความสัมพันธ์ของความแตกแยกเป็นกรณีพิเศษของความเท่าเทียมกันของชั้นเรียนที่อยู่ติดกัน แท้จริงแล้วเป็นกลุ่ม G ชุดจะถูกถ่าย integers โดยการเพิ่มและเป็นกลุ่มย่อย H เซตย่อยจะถูกนำมา k ตัวเลขที่หารด้วย k. เห็นได้ชัดว่าความสัมพันธ์ที่กำหนดโดยเราคือความเท่าเทียมกันชุดชั้นเรียนเทียบเท่าแสดงด้วย G / HกำลังG / H| ชุดของชั้นเทียบเท่าแสดงว่าเป็น |G : H| และเรียกว่า ตามดัชนี กลุ่มย่อย H ในกลุ่ม G. แน่นอนสำหรับใด ๆ ก. G ยุติธรรม |ปรอท| = |Hที่เราทันทีที่ได้รับความสำคัญ ทฤษฎีบทลากรองจ์: |G| = |G : H| · |H| โดยเฉพาะอย่างยิ่งลำดับของกลุ่มย่อยจะแบ่งลำดับของกลุ่มเสมอ

ในชุด G / H คุณสามารถกำหนดการดำเนินการคูณได้โดยธรรมชาติ: ปรอท1 · ปรอท2 : = ปรอท1 · ก.2. เพื่อให้คำจำกัดความถูกต้องนั่นคือความเสมอภาคของชุด ปรอท1 · ปรอท2 = {ชั่วโมง1ก.1 · ชั่วโมง2ก.2 | ชั่วโมง1, ชั่วโมง2 H} และ ปรอท1 · ก.2 = {hg1 · ก.2 | ชั่วโมง H} มันเป็นสิ่งจำเป็นและเพียงพอที่ใด ๆ ก. G ความเท่าเทียมกันเป็นจริง ก.-1ปรอท = {ก.-1hg = ชั่วโมง | ชั่วโมง H} = H (เงื่อนไขนี้เราจะจด HG H) การแสดงออก ก.-1ปรอท มันเรียกว่า การเชื่อมต่อกัน ใช้องค์ประกอบ ก. และมักแสดง Hก.. การแสดงออก ก๊าซเรือนกระจก-1 = Hก.-1 เราจะบันทึก ก.H. กลุ่มย่อย Hพอใจเงื่อนไข HG Hมันถูกเรียกว่า ปกติ กลุ่มย่อย G (แสดงด้วย H G) และกลุ่มที่เป็นผลลัพธ์ G / H มันเรียกว่า กลุ่มปัจจัย กลุ่ม G ตามกลุ่มย่อย H. แนวความคิดของกลุ่มย่อยตามปกติและกลุ่มของปัจจัยเป็นกลุ่มที่สำคัญที่สุดในทางทฤษฎีเพราะพวกเขาอนุญาตให้ลดการศึกษากลุ่มเป็นกลุ่มเล็กลงบางส่วน (บางส่วนเนื่องจากตาม H และ G / H กลุ่ม G ตั้งใจแน่วแน่) กลุ่มที่ไม่ประกอบด้วยกลุ่มย่อยตามปกติเรียกว่า ง่าย.

เห็นได้ชัดว่าจุดตัดของจำนวนกลุ่มย่อยเป็นอีกกลุ่มย่อย นี้ช่วยให้เราสามารถกำหนด กลุ่มย่อยที่สร้างโดย Mเป็นกลุ่มย่อยที่เล็กที่สุดที่มีเซตย่อย Mนั่นคือจุดตัดของกลุ่มย่อยทั้งหมดของกลุ่ม Gมีหลายอย่าง M. กลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นโดยชุด Mจะถูกระบุว่า M. ง่ายต่อการตรวจสอบว่า M เป็นชุดของทุกชนิดของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบจาก M และกลับไปหาพวกเขา กลุ่มที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบหนึ่ง มันเรียกว่า เป็นวงกลมและคำสั่งของเธอ || : = || มันเรียกว่า ตามลำดับ ธาตุ . ง่ายต่อการตรวจสอบว่าลำดับขององค์ประกอบเป็นจำนวนน้อยที่สุด nสำหรับที่ เป็น อี. จากทฤษฎีบทลากรองจ์มันเป็นไปตามลำดับขององค์ประกอบเสมอแบ่งลำดับของกลุ่ม

ในตอนท้ายของบทนี้เราจะนำเสนอแนวคิดเรื่องมอร์ฟิมอร์ฟของกลุ่ม ถ้า G, H – กลุ่มแล้วทำแผนที่ φ : GHการรักษาความปลอดภัย (กล่าวคือสำหรับทุกคน ก.1, ก.2 G ทำ (ก.1 · ก.2)φ = ก.1φ · ก.2φ) ถูกเรียก homomorphism, ชุด Ker (φ) = {ก. G | = อี} เรียกว่า เคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึม, และอื่น ๆ อีกมากมาย = { | ก. G} เรียกว่า ภาพของ homomorphism. ถ้า Ker (φ) = {อี} และ = Hกล่าวคือ φ เป็น bijection แล้วทำแผนที่ φ มันเรียกว่า มอร์ฟและกลุ่ม G และ H isomorphic (แสดงโดย G H) ทฤษฎีบทโฮโมมอร์ฟกล่าวว่า H = Ker (φ) – กลุ่มย่อยกลุ่มปกติ G และ G / H. มอร์ฟสามารถคิดได้ว่าเป็น "ความคล้ายคลึงกัน" ของสองกลุ่มที่เราไม่ได้แยกความแตกต่างระหว่างกัน (แม้ว่าในความเป็นจริงอาจเป็นชุดที่ต่างกัน) ดังนั้นทฤษฎีพูดอย่างเคร่งครัดการศึกษาชั้นของมอร์ฟของกลุ่ม โปรดทราบว่าในชีวิตประจำวันเรามักจะสร้าง isomorphisms ขึ้นในระดับสูงหรือน้อยมาก ดังนั้นตัวอย่างเช่นมีคลาสมอร์ฟของเฟอร์นิเจอร์ที่เรียกว่าแนวคิดของ "ตู้เสื้อผ้า" และเราโดยสัญญาณบางอย่างแน่แท้กำหนดว่าวัตถุที่กำหนดให้เป็นของ "ตู้เสื้อผ้า" หรือไม่ เมื่อเราขาดสิ่งที่เป็นนามธรรมในระดับสูงเราจะลงไปที่ระดับล่างและเริ่มแบ่งตู้เข้า "ครัว" หนังสือ "ตู้เสื้อผ้า" เป็นต้นแนวคิดของมอร์ฟสำหรับกลุ่มเป็นเพียงเครื่องมือที่เราอยู่ในระดับของสิ่งที่เป็นนามธรรมแยกแยะหรือระบุวัตถุ


Like this post? Please share to your friends:
ทฤษฎีกลุ่ม – ศาสตร์แห่งความเป็นเลิศ ">
ใส่ความเห็น

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: