ทฤษฎีกลุ่มเป็นศาสตร์แห่งความสมบูรณ์แบบ นิยามและสัญกรณ์เริ่มแรก

ทฤษฎีกลุ่ม – ศาสตร์แห่งความเป็นเลิศ

Evgeny Vdovin

  • การแนะนำ
  • นิยามและสัญกรณ์เริ่มแรก
  • สัจพจน์ของกลุ่ม
  • กลุ่มตัวอย่าง
  • ข้อสรุป

นิยามและสัญกรณ์เริ่มแรก

เราจะพยายามใช้สูตรและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์พิเศษให้ได้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ แต่เราไม่สามารถทำได้โดยปราศจากพวกเขาอย่างสมบูรณ์ ชุดตามกฎจะแสดงด้วยอักษรละตินแบบละตินและองค์ประกอบของตัวพิมพ์เล็ก – เล็ก ถ้า – หลายคนและ – องค์ประกอบบางอย่างแล้วบันทึก ควรอ่าน "องค์ประกอบ เป็นของหลาย ๆ คน "ตามลำดับรายการ หมายความว่า "องค์ประกอบ ไม่ได้อยู่ในชุด “.

จำได้ว่าแนวความคิดของชุดองค์ประกอบและการเป็นสมาชิกเป็นแนวคิดพื้นฐานที่ไม่อาจคาดการณ์ได้ของคณิตศาสตร์ยุคใหม่ ชุดใด ๆ จะถูกกำหนดโดยองค์ประกอบที่รวมอยู่ในชุด (ซึ่งในทางกลับกันจะเป็นชุดก็ได้) ดังนั้นเราจึงบอกว่าชุด ถูกกำหนด หรือ ที่ระบุถ้าสำหรับองค์ประกอบที่เราสามารถพูดได้ว่ามันเป็นของชุดนี้หรือไม่ สำหรับสองชุด , B การบันทึก B , B , B, B , B \ , × B หมายความว่าตาม B เป็นชุดย่อยของชุด (เช่นรายการใด ๆ จาก B มีอยู่ด้วย ตัวอย่างเช่นชุดของจำนวนธรรมชาติที่มีอยู่ในชุดของตัวเลขจริง; นอกเหนือจากนี้เสมอ ), B เป็นชุดย่อยที่เหมาะสมของชุด (เอ็มอี B และ B) จุดตัดของชุด B และ (กล่าวคือองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ในเวลาเดียวกัน และเข้า Bตัวอย่างเช่นการตัดกันของจำนวนเต็มและจำนวนจริงบวกคือชุดของจำนวนธรรมชาติ), สหภาพของชุด B และ (กล่าวคือชุดประกอบด้วยองค์ประกอบที่อยู่ภายในใดก็ได้ ทั้งที่ B) ตั้งค่าต่างกัน B และ (นั่นคือชุดขององค์ประกอบที่อยู่ในนั้น Bแต่อย่าเข้ามา ), คาร์ทีเซียนของชุด และ B (เช่นชุดของฟอร์ม (, ) ที่ไหน , B) ผ่าน || แสดงเสมอ อำนาจ ชุด กล่าวคือจำนวนองค์ประกอบในชุด . คำจำกัดความถูกเน้นเสมอ ตัวเอียง.

เราไม่สามารถทำได้โดยปราศจากแนวคิดเกี่ยวกับการทำแผนที่ความสัมพันธ์และความเท่าเทียมกัน เราจะไม่ให้คำนิยามเชิงตรรกะที่เข้มงวดของแนวคิดเหล่านี้เราจะอธิบายได้เท่านั้น แสดงผล สามารถถือเป็นหน้าที่เชื่อมโยงองค์ประกอบเดียว (เรียกว่า ต้นแบบ) องค์ประกอบอื่น ๆ (เรียกว่า ลักษณะ) ในชีวิตเรากำลังเผชิญหน้ากับแนวความคิดในการแสดงเช่นการซื้อตั๋วโรงละครเราจะสร้างการแสดงระหว่างตั๋วและสถานที่ในโรงละคร เมื่อเราได้รับเงินเดือนเราจะสร้างแผนที่ระหว่างงานที่ทำระหว่างเดือนกับเงินที่จะได้รับ เมื่อศึกษารายชื่อผู้เล่นทีมฟุตบอลเราจะสร้างแผนที่ระหว่างผู้เล่นและทีมที่พวกเขาเล่น ดังนั้นมีการแม็ปหลายอย่างมากเกือบทุกอย่างในชีวิตของเราอยู่ในหนึ่งวิธีหรือการแมปอื่น มีการแม็ปเป็นพิเศษประเภทต่างๆจากนั้นจะใช้ 3 ชนิดต่อไปนี้ในข้อความ: การแม็ปการทำแผนที่ (การฉีดยา), การทำแผนที่ surjective (surjection) และการทำแผนที่แบบทำแผนที่ (bijective mapping)bijection) การทำแผนที่แบบ Injective เป็นการทำแผนที่ที่แม็ปภาพที่ต่างกันไปกับองค์ประกอบต้นฉบับที่ต่างกัน การทำแผนที่ surjective คือการทำแผนที่ซึ่งแต่ละภาพมีต้นแบบ ในที่สุดการทำแผนที่แบบสองมิติคือการทำแผนที่ที่มีทั้งแบบทวิภาคและแบบทับศัพท์

ให้เราอธิบายแนวคิดเหล่านี้ด้วยตัวอย่างการทำแผนที่ระหว่างตั๋วจำนวนมากและจำนวนที่นั่งในโรงละครลองจินตนาการถึงโรงหนังในเขตเมือง N ซึ่งโล่และดาบไปเป็นพัน ๆ ครั้ง ธรรมชาติมีเพียงไม่กี่คนที่ต้องการดูและมีเพียงหนึ่งคู่ที่ใช้เวลาสองใบใน "จูบสาย" ทั้งคู่ชื่นชมยินดีรู้ตัวว่าอยู่ที่นี่เพียงอย่างเดียว แต่ในฐานะคนที่มีการศึกษาพวกเขาใช้สถานที่ที่ระบุไว้ในตั๋ว ในกรณีนี้การทำแผนที่จะมีผลบังคับใช้เนื่องจากตั๋วที่แตกต่างกันจะตรงกับสถานที่ต่างๆ แต่ก็ไม่ได้เป็นคำวิเศษณ์เนื่องจากเรายังคงมีที่ว่างเปล่าจำนวนมากซึ่งไม่ได้ขายตั๋วเพียงใบเดียว ดังนั้นการทำแผนที่แบบไม่สุภาษิตจึงไม่มีประโยชน์มากสำหรับการบริหารโรงภาพยนตร์

ลองนึกภาพตอนนี้ว่าในวันรุ่งขึ้นในโรงภาพยนตร์เดียวกันของเมืองเดียวกันพวกเขาสัญญาว่าจะเปิดตัวภาพยนตร์บล็อกบัสเตอร์คนใหม่จากยียวนและพูดเป็นนัยว่าตัวเองยันทาโน่จะตอบคำถามจากผู้ชมหลังจากภาพยนตร์เรื่องนี้ อย่างแท้จริงสำนักงานขายตั๋วเต็มไปด้วยผู้คนและฝ่ายจัดการ "โดยไม่ได้ตั้งใจ" ขายตั๋วสองชุดไปยังที่เดียวกัน เราจะไม่อธิบายการถอดชิ้นส่วนนี้ออกเนื่องจากมีที่เดียวที่เกิดขึ้นในเซสชัน แต่เราทราบว่าการแสดงผลเป็นสิ่งที่ทำขึ้นตั้งแต่ตอนขายตั๋วสำหรับแต่ละสถานที่ แต่ไม่ได้เป็นแบบฉีดเพราะมีตั๋วสองใบสำหรับแต่ละสถานที่ดังนั้นการทำแผนที่แบบไม่ฉีดเป็นความขัดแย้งโดยตรงกับสิทธิของผู้บริโภคและอาจอยู่ภายใต้บทบัญญัติบางประการของกฎหมาย "เกี่ยวกับการคุ้มครองสิทธิผู้บริโภค"

ดีกรณีสุดท้ายดูที่โรงหนังเดียวกันในเมือง N ในวันที่ 1 มกราคม 2006 ภาพยนตร์เรื่องแรกที่ออกฉายในปีนี้ทำให้เกิดความวุ่นวายต่อสาธารณะ แต่ขณะนี้ผู้บริหารได้รับการสอนจากประสบการณ์ที่ขมขันก่อนหน้านี้อย่างรอบคอบทำให้แน่ใจได้ว่ามีการจำหน่ายตั๋วหนึ่งชุดสำหรับแต่ละเซสชั่น เป็นผลให้ผู้ชมแต่ละคนอย่างสงบใช้สถานที่ของเขาและแต่ละช่วงเริ่มต้นด้วยบ้านเต็ม ดังนั้นตัวอย่างสุดท้ายนี้เป็นทั้งแบบทวิภาคและแบบทายาทซึ่งก็คือ bijection ดังนั้นการฉายรังสีคือค่าเฉลี่ยสีทองที่เป็นประโยชน์มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้สำหรับคณะกรรมการและในเวลาเดียวกันให้สะดวกที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้แก่ผู้ชม แนวคิดเรื่อง bijection นี้เป็นเพียงแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่ใช้แนวคิดสมมุติฐานซึ่งมีการกล่าวถึงในบทนำ ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่เป็น bijection ที่แสดงที่สมบูรณ์แบบที่สุดในกรณีนี้

แสดงผล จากชุด ในชุด B เรียกกฎบางอย่างโดยใช้องค์ประกอบแต่ละส่วนของ คุณสามารถจับคู่รายการเดียวจาก B. การแมปที่เรามักจะแสดงในตัวอักษรกรีกและเขียน φ : Bและภาพขององค์ประกอบใด ๆ เทียบกับจอแสดงผล φ ถูกบันทึกไว้ . บันทึกดังกล่าวดูเหมือนว่าผิดปกติครั้งแรกและไม่สะดวกสำหรับผู้ที่ใช้ในการเขียนฟังก์ชัน (กรณีพิเศษของการแม็ป) เป็น φ() แต่สำหรับการนำเสนอของเราจะสะดวกกว่า ถ้ามี 3 ชุด , B, C และได้รับการแม็ป φ : B และ ψ : BCจากนั้นคุณสามารถสร้างแผนที่ φψ : C อย่างไร ส่วนประกอบ (ลำดับการดำเนินการ) แมป φ และ ψ. โปรดทราบว่าถ้าเราบันทึกการแสดงผลทางด้านซ้ายองค์ประกอบ φψ เราจะต้องอ่านขวาไปซ้ายในภาษาอาหรับ ในอนาคตเราจะต้องใช้การแม็ปชนิดพิเศษต่อไปนี้: การฉีดยา (จอแสดงผล φ : B เรียกว่า injective ถ้าแตกต่างกัน x, Y องค์ประกอบ , ยังแตกต่างกัน) surjection (จอแสดงผล φ : B เรียกว่า surjective ถ้ามี Y B มีเช่น x ที่ = Y), bijection (การฉีดและการกระชากในเวลาเดียวกัน) ตัวอย่างของการแม็ปจากตัวเลขเชิงเหตุผลไปสู่เหตุผลสามารถแม็ปได้: xx3, xx2, xx/ 2. ครั้งแรกคือการฉีด แต่ไม่ใช่ surjective ส่วนที่สองไม่ใช่ surjective หรือ injective ที่สามคือ bijection

อีกแนวคิดที่สำคัญของคณิตศาสตร์คือแนวคิด ความสัมพันธ์. ทัศนคติสามารถถูกคิดว่าเป็นกฎบางประการซึ่งสำหรับสององค์ประกอบ (สิ่งของสิ่งต่างๆสิ่งมีชีวิตเป็นต้น) ทำให้สามารถระบุได้ว่าพวกเขาอยู่ในเรื่องนี้หรือไม่ ในชีวิตของเราเราเข้ามาอย่างต่อเนื่องและมีความห่วงใยในความสัมพันธ์ที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นในความสัมพันธ์กับเครือญาติ (มีองศาที่แตกต่างกันของความสนิทสนม) ทัศนคติของพนักงานนายจ้างความสัมพันธ์ของคนขับรถผู้โดยสารผู้ขายผู้ซื้อ ฯลฯ ดูแลธรรมชาติของพวกเขา

เราบอกว่าในบางชุด ที่ระบุ R ratioถ้ามีสององค์ประกอบ , ของ เราสามารถบอกได้ว่าพวกเขาอยู่ในความสัมพันธ์ R หรือไม่ กล่าวอีกนัยหนึ่งทัศนคติ R มีการทำแผนที่ R : × → {1, 0} โดยที่ค่า 1 ตรงกับ "true" และค่า 0 – "false" (โปรดทราบว่าลำดับที่องค์ประกอบถูกนำมาเป็นสิ่งสำคัญ และ )โดยปกติเพื่อแสดงความสัมพันธ์เราจะใช้อักขระพิเศษотношений, ~, ฯลฯ ความสัมพันธ์จะเขียนได้อย่างสะดวกด้วย ~ ถ้า และ อยู่ในความสัมพันธ์ R และ ถ้า และ ไม่อยู่ในความสัมพันธ์ R. ความสัมพันธ์ ~ ในชุด มันเรียกว่า ตามความเท่าเทียมกันถ้า axioms ต่อไปนี้เป็นจริง:

(EKV1)
สำหรับใด ๆ เสร็จแล้ว ~ (ความจริงของ reflexivity);

(EKV2)
สำหรับใด ๆ , ของ ของ ~ จะต้องเป็น ~ (สัจพจน์สมมาตร);

(EKV3)
สำหรับใด ๆ , , ของ ของ ~ และ ~ จะต้องเป็น ~ (สัจพจน์ของความอ่อนไหว)

ตัวอย่างของความสัมพันธ์คืออัตราส่วนของลำดับ≥ในชุดของจำนวนจริงอัตราส่วนของหารบนชุดของจำนวนเต็มความสัมพันธ์ความเท่าเทียมกันในชุดของจำนวนจริงอัตราส่วนของความเท่าเทียมกันของเศษจากการหารด้วยจำนวนธรรมชาติคงที่ในชุดของจำนวนธรรมชาติ โปรดทราบว่าสองความสัมพันธ์แรกไม่ใช่ equivalences และสองคนสุดท้ายคือ มีชื่อพิเศษสำหรับความสัมพันธ์ครั้งสุดท้ายคือ integers ม., n ถูกเรียก เทียบเคียง modulo k (เขียนเป็น ม.n (สมัย k)) ถ้า nม. หารด้วย k.

ถ้าอยู่ในชุด ให้ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน ~ แล้วชุดทั้งชุดจะแบ่งออกเป็น ความเท่าเทียมกัน – ชุดย่อยขององค์ประกอบที่เทียบเท่ากับคู่และสองชั้นใด ๆ ไม่ได้ตัดกันหรือเหมือนกัน อันที่จริงสมมติว่า C1, C2 – สองชั้นความเท่าเทียมกันและสี่แยกของพวกเขา C1C2 ไม่ว่างเปล่าและมีองค์ประกอบบางอย่าง x. แล้วสำหรับองค์ประกอบใด ๆ Y C1โดยความหมายของระดับความเท่าเทียมกันพอใจ x ~ Y. นอกจากนี้สำหรับใด ๆ Z C2, อีกครั้งโดยความหมายของระดับเทียบเท่าความพึงพอใจ Z ~ x. โดยอาศัยสัจพจน์การเปลี่ยนผ่าน (เงื่อนไข (EKV3)) เราได้รับที่ Y ~ Zวิธี C1 = C2. ชุดของชั้นเรียนของชุด โดยความเท่าเทียมกัน ~ แสดงด้วย / ~.


Like this post? Please share to your friends:
ทฤษฎีกลุ่ม – ศาสตร์แห่งความเป็นเลิศ ">
ใส่ความเห็น

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: