ทฤษฎีกลุ่มเป็นศาสตร์แห่งความสมบูรณ์แบบ กลุ่มตัวอย่าง

ทฤษฎีกลุ่ม – ศาสตร์แห่งความเป็นเลิศ

Evgeny Vdovin

  • การแนะนำ
  • นิยามและสัญกรณ์เริ่มแรก
  • สัจพจน์ของกลุ่ม
  • กลุ่มตัวอย่าง
  • ข้อสรุป

กลุ่มตัวอย่าง

ตัวอย่างของกลุ่มที่รู้จักเราจากโรงเรียนประถมมีจำนวนเต็มจำนวนเชิงซ้อนจริงจำนวนเชิงซ้อนโดยการบวกตัวเลขจริงที่ไม่เป็นศูนย์และจำนวนเชิงซ้อนด้วยการคูณ กลุ่มเหล่านี้ทั้งหมดเป็นกลุ่มอาเบล อีกตัวอย่างที่สำคัญของกลุ่มคือการก่อสร้างต่อไปนี้ ให้ X – arbitrary set และสัญลักษณ์X – ชุดของ bijection ทุกชนิดของชุด X กับตัวเอง ตั้งค่าการคูณด้วย SymX เป็นองค์ประกอบ แล้วสมมุติX เกี่ยวกับการดำเนินงานขององค์ประกอบเป็นกลุ่ม กลุ่มสมมาตรที่ชุด X หรือ กลุ่มทดแทน (บางครั้งกลุ่มการเปลี่ยนแปลงคำก็ใช้ แต่ดูเหมือนว่าไม่ประสบความสำเร็จกับเรามากไปกว่านี้) ถ้าหลายคน X แน่นอนและ |X| = nแล้วเราสามารถสมมติว่า X = {1, … , n} และ symX แสดงโดย symn. ถ้าΨเป็นสมบัติของการแม็พที่เก็บรักษาไว้ในองค์ประกอบแล้วเซตย่อยของการแม็ปที่สร้างความพึงพอใจต่อคุณสมบัติของ Sym groupX เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่ม symX. เราแสดงให้เห็นว่าองค์ประกอบของการแม็ปสอดคล้องกับสัจพจน์การเชื่อมโยง (ГР1) (การตรวจสอบสัจพจน์อื่น ๆ จะง่ายกว่ามากซึ่งเป็นไปตามคำนิยามของการคาดการณ์)เพื่อที่จะพิสูจน์ว่าองค์ประกอบของแผนที่เชื่อมโยงกันจำเป็นต้องเข้าใจก่อนว่าแผนที่มีความเท่าเทียมกัน แม้จะมีคำจำกัดความที่ชัดเจน แต่ก็มักทำให้เกิดปัญหา แสดงผล φ : B และ ψ : B (ในกรณีที่ , B – arbitrary sets) มีค่าเท่ากันถ้ามี x ภาพของเขา และ มีค่าเท่ากัน ตอนนี้ปล่อยให้ φ, ψ, χ SymX และ x X. แล้วก็ x((φψ)χ) = (x(φψ))χ = (()ψ)χในทางตรงกันข้าม x(φ(ψχ)) = ()(ψχ) = (()ψ)χที่พิสูจน์ความสัมพันธ์ขององค์ประกอบ

ตัวอย่างนี้ไม่เพียง แต่ช่วยให้คุณสามารถสร้างกลุ่มที่แตกต่างกันจำนวนมาก (เราจะเห็นว่าทุกกลุ่มด้านล่าง) แต่ยังแสดงให้เห็นถึงการประยุกต์ใช้ทฤษฎีกลุ่มอย่างกว้างขวาง เมื่อใดก็ตามที่มีสมมาตร (สมมุติฐาน) อย่างน้อยบางกลุ่มจะเกิดขึ้นทันที ปัญหาของการก่อสร้างด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศและไม้บรรทัดการแก้สมการเกี่ยวกับพีชคณิตในอนุมูลสมการเชิงอนุพันธ์ในพริสตอล ฯลฯ จะลดลงตามธรรมชาติของปัญหาในทฤษฎีกลุ่ม ปัญหา combinatorial ต่างๆลดลงเพื่อนับวัตถุที่มีคุณสมบัติบางอย่างและอีกทฤษฎีกลุ่ม

ถ้า G – กลุ่ม X – กำหนดและให้ homomorphism φ : G → SymXแล้วพูดกลุ่ม G ทำหน้าที่ในชุด X. ถ้า Ker (φ) = {อี} เรียกการกระทำนี้ แน่นอน. เพื่อ "อำนวยความสะดวก" สัญกรณ์เราจะระบุ ก. กับภาพลักษณ์ของเขา และโดยพลการ x X ภาพลักษณ์ของเขาค่อนข้าง จะบันทึก XG. เราแนะนำความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน ~ on X ตามกฎ: องค์ประกอบ x, Y X จะเทียบเท่าถ้ามี ก. Gที่ XG = Y. ชั้นเทียบเท่าเรียกว่า วงโคจร กลุ่ม G. ว่ากันว่ากลุ่ม G กระทำการขนส่ง (และงานนำเสนอคือ เกี่ยวกับสกรรมกริยา) ถ้ามีวงโคจรเพียงเส้นเดียว homomorphism φ : G → SymX มันเรียกว่า ตัวแทนตัวแทน กลุ่ม G (เนื่องจากการใช้คำว่า "permutation representation" คำว่า "permutation group" ถือว่าไม่สำเร็จเนื่องจากคำว่า "permutation representation" มีความหมายที่แตกต่างกัน) ถ้า Ker (φ) = {อี} งานนำเสนอนี้เรียกว่า แน่นอน.

พิจารณาตอนนี้กลุ่มโดยพล. G และกลุ่มย่อย H. กลุ่ม G ทำหน้าที่ในชุดของชั้นเรียนที่อยู่ติดกันในกลุ่มย่อย H โดยคูณด้านขวา: (ปรอท1)ก.2 = H(ก.1ก.2) ดังนั้นจึงมีการแทนการแทน φ : G → SymG / H. ถ้า H ไม่มีกลุ่มย่อยตามปกติของกลุ่ม Gแล้วการนำเสนอนี้มีความถูกต้อง โดยเฉพาะถ้า H = {อีการนำเสนอนั้น G → SymG/ % = SymG เสมอถูกต้องและเรียก ปกติ การนำเสนอกลุ่ม G. ดังนั้นกลุ่มใด ๆ ที่สามารถได้รับการพิจารณาเป็นกลุ่มของการแทน ปรากฎว่ามีการแสดงออกของกลุ่ม G สามารถได้รับวิธีนี้


ทำความเข้าใจกับข้อความต่อไปนี้ความรู้เกี่ยวกับหลักสูตรของมหาวิทยาลัยในพีชคณิต

กลุ่มตัวอย่างต่อไปนี้เกิดขึ้นจากเวกเตอร์เวกเตอร์ ให้ V – เวกเตอร์พื้นที่เหนือเขตข้อมูล F (ฉันจะไม่ให้คำนิยามของเวกเตอร์พื้นที่และสนามตัวอย่างของพื้นที่เวกเตอร์เป็นเครื่องบินและตัวอย่างของฟิลด์คือชุดของจำนวนเหตุผลที่เกี่ยวกับการเพิ่มและการคูณ) ชุดของการแปลงเชิงเส้นที่ไม่ใช่ความเสื่อมของเวกเตอร์พื้นที่ V สร้างกลุ่มและเรียก กลุ่มเส้นตรงทั่วไป (แสดงโดย GL (V)) มันง่ายที่จะตรวจสอบว่าเวกเตอร์พื้นที่ที่มีขนาดเดียวกัน n ในฟิลด์เดียวกัน isomorphic กับพื้นที่ของสตริงของความยาว n, และชุดของการแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมถอยสอดคล้องกับชุดของเมทริกซ์ที่ไม่เสื่อมถอย ในกรณีนี้กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปจะถูกเขียนเป็น GLn(F)ในความเป็นจริงตัวอย่างนี้ไม่ได้เป็นอย่างเคร่งครัดพูดใหม่ตั้งแต่ GL (V) ≤ SymV. อย่างไรก็ตามความสำคัญของกลุ่มชนกลุ่มนี้เนื่องจากการเลือกในตัวอย่างที่แยกต่างหาก homomorphism φ : G → GLn(F) ถูกเรียก การแสดงเชิงเส้น กลุ่ม G เหนือสนาม F องศา nและพื้นที่ V มันเรียกว่า G-โมดูล. กลุ่มสมมาตรของลูกซึ่งถูกกล่าวถึงในการแนะนำตรงกับกลุ่มของการแปลงเชิงเส้นทั้งหมดของพื้นที่สามมิติที่รักษาความยาวของเวกเตอร์ที่เรียกว่า กลุ่ม orthogonal ทั่วไป.


ตัวอย่างที่สามของกลุ่มเกิดขึ้นดังนี้ ให้ X = {x1, x2, … } คือบางตัวอักษร (finite หรือ infinite) ลองกรอกข้อมูลด้วยสัญลักษณ์ที่เป็นทางการ X-1 = {x1-1, x2-1, … } และพิจารณาชุดของคำในตัวอักษร X X-1. เราแนะนำการแปลงข้อมูล:

(1)
การลบตัวอักษร xผมxผม-1 หรือ xผม-1xผม;

(2)
เพิ่มคำค้นหาลงในที่ใดก็ได้ xผมxผม-1 หรือ xผม-1xผม.

สองคำ ยู, โวลต์ เราเรียกเทียบเท่าถ้ามีโซ่ของการแปลงประเภท (1) หรือ (2) ที่แปลคำหนึ่งลงในอีก ในชุดของชั้นความเท่าเทียมกันเรากำหนดการดำเนินการคูณด้วยการกำหนดคำหนึ่งคำต่อท้ายคำอื่น จากนั้นเราจะได้กลุ่มที่เรียกว่า กลุ่มฟรี และแสดงด้วย F[X] และเรียกว่าองค์ประกอบของกลุ่มนี้ ในคำพูด. ความแพร่หลายของการก่อสร้างนี้ทำให้กลุ่มอิสระที่จำเป็นสำหรับการศึกษาภาษาที่เป็นทางการ (เช่นภาษาโปรแกรม) ตลอดจนงานอื่น ๆ จากทฤษฎีการเข้ารหัสการรู้จำ ฯลฯ คำว่า "ฟรี" เป็นเพราะความจริงที่ว่าถ้าเรามีกลุ่มใด ๆ โดยพลการ G และมีเซตย่อยดังกล่าวของมัน Mที่ M = Gแล้วเราสามารถพิจารณาหลายคำ X มีเงื่อนไข |X| = |M| แล้วมี homomorphism φ : F[X] → G. เคอร์เนลของ homomorphism Ker (φ) สร้างขึ้นโดยชุดคำบางคำ R และการบันทึกกลุ่ม G ในรูปแบบของ G = < X|R > เรียก งานของกลุ่มที่กำหนดและสร้างความสัมพันธ์. บางทีนี่อาจเป็นวิธีที่เป็นนามธรรมมากที่สุดในการกำหนดกลุ่มและทำให้ยากที่สุด เราจะไม่ให้ตัวอย่างของกลุ่มที่กำหนดไว้ในลักษณะนี้


Like this post? Please share to your friends:
ทฤษฎีกลุ่ม – ศาสตร์แห่งความเป็นเลิศ ">
ใส่ความเห็น

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: