Three in One • Evgeny Epifanov •ปัญหาทางวิทยาศาสตร์ยอดนิยมเรื่อง "Elements" •คณิตศาสตร์

สามในหนึ่ง

งาน

ในหลายวิธี คุณสามารถตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นสามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมซึ่งแต่ละอันมีลักษณะคล้ายกับอีกสองรูป จำได้ว่าสองรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีลักษณะคล้ายกันถ้าด้านข้างของรูปแรกมีความสัมพันธ์กันเช่นเดียวกับด้านที่สอง วิธีการที่แตกต่างกันเฉพาะการหมุนหรือการสะท้อนของสแควร์จะถูกนับเป็นหนึ่ง


ช่วย

สี่เหลี่ยมผืนผ้าสามรูปมีจำนวนไม่มากดังนั้นคุณจึงสามารถเรียงลำดับกรณีของตำแหน่งในสี่เหลี่ยมและตรวจสอบว่ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านั้นมีลักษณะคล้ายกันในแต่ละกรณีหรือไม่


การตัดสิน

ถ้าคุณวาดส่วนของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นสามเหลี่ยมเล็ก ๆ เพื่อที่จะเข้าใจว่าพวกเขาสามารถวางไว้ได้อย่างไรคุณสามารถสรุปได้ว่ามีเพียงสองกรณีที่แตกต่างกันเท่านั้น (ขึ้นอยู่กับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส) อันที่จริงสามหรือสองรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอาจติดกับด้านบนของสี่เหลี่ยม ถ้ามีอยู่สามตัวจากนั้นค่าที่แสดงในรูป เหลืออีก 1 ถ้าสองแล้ว – การกำหนดค่าที่แสดงในภาพด้านขวานี้ หากรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีเพียงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าติดกับด้านบนอีกสองด้านจะอยู่ด้านใต้และด้านที่พบโดยทั่วไปจะเป็นแนวนอน (และเป็นรูปสี่เหลี่ยมเดียวกันกับการกำหนดค่าแรก) หรือแนวตั้ง (เช่นเดียวกันกับการกำหนดค่าที่สอง)

มะเดื่อ 1

เป็นที่ชัดเจนเกี่ยวกับการกำหนดค่าแรกที่ทั้งสามรูปสี่เหลี่ยมมีค่าเท่ากับกัน: ตามสภาพจะต้องคล้ายกัน แต่จากการจัดเรียงมันจะเปิดออกที่พวกเขามีค่าเท่ากันเกี่ยวกับด้านดี

เราจะเข้าใจการกำหนดค่าที่สอง เราจะพิจารณา ปฐมนิเทศ รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นทิศทางของด้านยาว (เป็นที่ชัดเจนว่าเรามีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ายาวที่ยาวกว่าอีกด้านหนึ่งเท่านั้น) สี่เหลี่ยมผืนผ้าสองอันดับแรกจะมุ่งเน้นอย่างไร

พวกเขาไม่สามารถเป็นแนวตั้ง (เช่นเดียวกับในรูปที่ 1) เนื่องจากจะมีค่าเท่ากัน (ขเกี่ยวกับด้านขนาดใหญ่จะมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้นสัดส่วนของด้านที่มีขนาดใหญ่ถึงเล็กกว่าจะน้อยกว่า 2 (เนื่องจากด้านที่มีขนาดเล็กเท่ากับครึ่งด้านข้างของสี่เหลี่ยมและส่วนที่ใหญ่กว่าจะไม่มากกว่าด้านทั้งสี่เหลี่ยม) และที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านล่างอัตราส่วนนี้จะมากกว่า 2 ดังนั้นจึงไม่สามารถใช้กับรูปด้านบนได้

พวกเขาสามารถทั้งแนวนอน (รูปที่ 2, ซ้าย) จากนั้นทั้งสองรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านบนมีความเท่าเทียมกันอีกครั้งและง่ายต่อการคำนวณว่าเพื่อให้ทั้ง 3 รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความคล้ายคลึงกันจึงจำเป็นต้องให้แต่ละด้านของแต่ละด้านเป็นรูป 3: 2

มะเดื่อ 2

สุดท้ายมันจะเป็นที่หนึ่งของสี่เหลี่ยมด้านบนเป็นแนวนอนและที่สองคือแนวตั้ง? ตรวจสอบออก สถานการณ์นี้แสดงในรูปที่ 2 ด้านขวาเราแนะนำสัญกรณ์ดังรูปนี้ ให้ความเหมือนของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเราพบว่า:

\ [BE = \ dfrac1y, \ AD = xy. \]

เนื่องจากด้านข้างของสแควร์มีค่าเท่ากันเราจึงมีความเท่าเทียมกัน:

\ [y + \ dfrac1y = 1 + x = xy. \]

ความเท่าเทียมกันทางด้านขวาช่วยให้คุณสามารถแสดงออกได้ Y:

\ [y = \ dfrac {1 + x} %, \]

หลังจากที่สมการได้จากสมการด้านซ้าย

\ [\ dfrac {1 + x} % + \ dfrac % {1 + x} = 1 + x. \]

สามารถเขียนใหม่ได้

\ [x ^ 3-x-1 = 0 \]

นี่สมการลูกบาศก์มีรากจริง \ (\ rho \ approx1 {,} 3247 \ ldots \) ​​ดังนั้นจึงเป็นกรณีนี้ ดังนั้นจึงมีสามวิธีในการตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่คล้ายกัน


เล่ม

เนื่องจากสูตรสำหรับการแก้ปัญหาที่แน่นอนเป็นที่รู้จักกันสำหรับสมการลูกบาศก์หนึ่งสามารถตรวจสอบว่ามีรากและเป็นหนึ่ง ในอนุมูลจำนวนนี้ถูกเขียนขึ้นเมื่อ:

\ [\ r \ d \ sqrt {\ sqrt [3] {108 + 12 \ sqrt %} + \ sqrt [3] {108-12 \ sqrt %}} % \]

นอกจากนี้ยังสามารถเขียนในรูปแบบของลำดับที่ไม่มีที่สิ้นสุดของอนุมูลที่ซ้อนกันในแต่ละอื่น ๆ :

\ [\ rho = \ sqrt [3] {1+ \ sqrt [3] {1+ \ sqrt [3] {1+ \ sqrt [3] {\ ldots}}}} \

ที่น่าสนใจหมายเลขนี้มี "ชื่อ" ของตัวเอง: สถาปนิกชาวดัตช์ (และพระสงฆ์ส่วนเวลา) Hans van der Laan เรียกเขาว่า หมายเลขพลาสติก (หมายเลขพลาสติก) Van der Laan ไม่ได้สร้างอาคารจำนวนมากและส่วนใหญ่เป็นโบสถ์ แต่งานทางทฤษฎีของเขามีน้ำหนักมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเขาได้พัฒนาทฤษฎีของความสามัคคีความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบของอาคาร,ซึ่งตัวเลขพลาสติกมีบทบาทสำคัญ

มะเดื่อ 3 อาคารที่ออกแบบโดย Hans van der Laan ด้านซ้าย: อารามเบเนดิกตินใน Tumell, สวีเดน ด้านขวา: ภายในวัดในมาสทริชต์ประเทศเนเธอร์แลนด์ ภาพถ่ายจากเว็บไซต์ divisare.com

ชื่อดังกล่าวในความคิดของเขาสะท้อนให้เห็นถึงความจริงที่ว่าตัวเลขนี้สามารถมีรูปทรงเรขาคณิตได้ เราพบตัวอย่างหนึ่งของแบบฟอร์มดังกล่าวในปัญหา อีกตัวอย่างหนึ่งเกิดขึ้นดังนี้ สมมติว่ามีกล่องแบบไม่ จำกัด (สี่เหลี่ยมผืนผ้าสี่เหลี่ยมผืนผ้า) ที่มีขนาดแตกต่างกันและมีความยาวทั้งหมดของด้าน เริ่มต้นด้วยกล่อง 1 × 1 × 1 แนบกล่องอื่นที่ด้านข้างของกล่อง – เราจะได้กล่อง 2 × 1 × 1 เราแนบไปกับมันในด้านหน้าของเดียวกันเพื่อให้ได้กล่อง 2 × 2 × 1 แนบช่อง 2 × 2 × 2 ด้านล่างเพื่อสร้างช่อง 2 × 2 × 3 จากนั้นคุณต้องดำเนินการต่อดังนี้: ใส่กล่องใหม่สลับจากด้านข้างด้านหน้าด้านล่างและเลือกขนาดเพื่อให้ทั้งสองมิติ (ขนาดของใบหน้าที่กล่องถัดไปแนบ) ตรงกับการวัดของช่องปัจจุบันและมิติที่สามคือสิ่งที่เปลี่ยนไป วัดสอง "ย้าย" ก่อน ขั้นตอนแรกจะแสดงในรูปที่ 4ตัวอย่างเช่น "การย้าย" ด้านที่ห้าคือช่อง 2 × 2 × 3 และ "ความยาว" (วัดตามลูกศรในรูปนี้) คือ 2 เนื่องจากการเคลื่อนที่สองครั้งก่อนช่องมี "ความกว้าง" เท่ากับ 2 (นี่คือช่องขวา ในแถวบนสุด)

มะเดื่อ 4 การสร้างกล่อง "พลาสติก" ภาพจากบทความ V. W. De Spinadel, A. R. Buitrago ไปสู่หมายเลขพลาสติกของ van der Laan ในเครื่องบิน

ถ้าคุณดำเนินการต่อกระบวนการนี้ขนาดของกล่องจะเพิ่มขึ้นตามธรรมชาติ แต่ความสัมพันธ์ของด้านข้างของพวกเขา ("เพื่อนบ้าน" ในความยาวดังแสดงในรูปที่ 4) จะมีแนวโน้มที่จะ จำกัด จำกัด ซึ่งเป็นจำนวนพลาสติก

แนวคิดที่อยู่เบื้องหลังเหตุผลคือดังนี้ โปรดทราบว่าขนาดของกล่องเป็นจำนวนเท่าตัวของตัวเลขที่อยู่ติดกันจากลำดับที่ 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, … ถ้าเราแสดงว่า nสมาชิกของลำดับนี้ Pnแล้วที่ n > 3 ถือความเสมอภาค Pn = Pn−2 + Pn−3. อย่างแม่นยำมากขึ้นความสัมพันธ์ของการเกิดซ้ำเชิงเส้นนี้จะกำหนดลำดับนี้ซึ่งเรียกว่าลำดับของ Padovan ปรากฎว่าสามารถแสดงคำทั่วไปของลำดับที่เกิดขึ้นซ้ำ ๆ ผ่านรากของพหุนามที่มีลักษณะเฉพาะ สำหรับลิงก์เหล่านี้คุณสามารถเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับหัวข้อนี้ได้แล้วในตอนนี้สิ่งสำคัญคือสำหรับพหุนามดังกล่าวในลำดับนี้พหุนามคือ: \ (x ^ 3-x-1 \) และรากที่แท้จริงของข้อมูลที่เราทราบคือจำนวนพลาสติก ρ. ดังนั้นโดยวิธีการที่ลำดับของอำนาจของจำนวนนี้คือ 1, ρ, ρ2, ρ3, … satisfies ความสัมพันธ์ของการเกิดขึ้นซ้ำ (สังเกตการณ์นี้จริงผลในวิธีการแสดงระยะของลำดับผ่านรากของพหุนาม) พหุนามนี้มีสองรากที่ซับซ้อน หากมีการระบุด้วย Q และ sแล้วมีค่าคงที่บางค่า , , ความเท่าเทียมกัน Pn = n + BQn + csn จะเป็นจริงกับธรรมชาติทั้งหมด n. แต่เนื่องจากรากที่ซับซ้อน Q และ s modulo น้อยกว่า 1 องศาของพวกเขามีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์กับการเพิ่มขึ้น n.

ในแง่นี้หมายเลขพลาสติกสำหรับลำดับของ Padovan จะเหมือนกับหมายเลขสถาปัตยกรรมที่อื่น ๆ (และอื่น ๆ อีกมากมายที่รู้จักกันดี) – ส่วนสีทอง – สำหรับลำดับ Fibonacci (และส่วนเงินสำหรับตัวเลข Pell)

เพิ่มเติมเกี่ยวกับคุณสมบัติของตัวเลขพลาสติกสามารถพบได้ในบทความ V. W. De Spinadel, A. R. Buitrago ไปสู่ ​​van der Laan หมายเลขพลาสติกในเครื่องบิน


Like this post? Please share to your friends:
ใส่ความเห็น

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: