รูปสามเหลี่ยมของอิฐ• Konstantin Knoop •งานวิทยาศาสตร์ยอดนิยมเรื่อง "Elements" •คณิตศาสตร์

อิฐสามเหลี่ยม

งาน

ที่สถานที่ก่อสร้างวางกองอิฐสีแดงสีเหลืองและสีเทา หัวหน้าทีมก่อสร้างได้รับคำสั่งให้คนงานวางกำแพงสามเหลี่ยมออกจากพวกเขาตามกฎต่อไปนี้: ใช้อิฐ 10 ก้อนโดยพลการจากด้านล่างเพื่อใส่อิฐสีเดียวกันบนอิฐที่มีสีเดียวกันและอิฐสีเดียวกันบนอิฐหลายสี )

เป็นผลให้มีเพียงหนึ่งอิฐปรากฏในแถวบนสุด นักคณิตศาสตร์ที่กำลังมองไปที่อิฐของแถวล่างมักคาดเดาอย่างรวดเร็วและถูกต้องว่าสีของอิฐบนจะเป็นอย่างไร อย่างไร เขาทำหรือไม่?


เคล็ดลับ 1

รู้แถวด้านล่างคุณสามารถวาดภาพของแถวทั้งหมดของอิฐ (และทำให้เร็วกว่าผู้สร้างมีเวลาที่จะใส่มัน) ขอทำเครื่องหมายด้วยวิธีนี้เป็นลักษณะของคณิตศาสตร์ (ไม่เร็วพอ)


เคล็ดลับ 2

เป็นที่ชัดเจนว่าสีเฉพาะไม่สำคัญ คุณสามารถใช้ตัวเลขเช่น 0, 1 และ 2 แทนสีคุณจะทำ "กฎสำหรับการเพิ่ม" อิฐใหม่ได้อย่างไร? เป็นที่ชัดเจนว่าคู่ของตัวเลขที่เหมือนกันควรสอดคล้องกับเดียวกัน: (0, 0) → 0; (1, 1) → 1; (2, 2) → 2 พารามิเตอร์ของตัวเลขที่ต่างกันตรงกับอันดับที่สาม: (0, 1) → 2 และอื่น ๆจดหมายทั้งหมดนี้สามารถเขียนลงในแท็บเล็ตได้:

012
0021
1210
2102

เป็นไปได้หรือไม่ที่จะกำหนดค่าที่กำหนดไว้ในตารางนี้ไม่ใช่ตาราง แต่ก็แตกต่างกันบ้าง? คุณสามารถลอง ตัวอย่างเช่นหน่วยในตารางตรงกับคู่ (0, 2), (1, 1) และ (2, 0) – จำนวนที่มีจำนวนเท่ากับ 2 และสอง? (0, 1), (1, 0) และ (2, 2) – สำหรับผู้ที่มีผลรวมเป็น 1 หรือ 4 ในที่สุดศูนย์จะตรงกับคู่ (0, 0), (1, 2) และ (2, 1) – ไปยังผู้ที่มีผลรวมเท่ากับ 0 หรือ 3 "หรือ" สับสนเล็กน้อย: ถ้าไม่ใช่เช่นถ้าเรารู้แน่ชัดว่าผลรวม 3 ตรงกับ 0 ผลรวม 1 หมายถึง 2, และผลรวมของ 2 ตรงกับ 1 แล้วเราก็จะเขียนสูตรการติดต่อ: จำนวน3 = 3 − (จำนวน1 + จำนวน2). ด้วยเหตุใดกฎจะยากขึ้นนิดหน่อย: ถ้าเป็นเช่นนั้น จำนวน3 จะไม่เป็นอย่างที่ควรจะเป็นแล้วคุณอาจจะต้องเพิ่ม 3 หรือเอาไปจากมัน 3 แต่นี้ไม่สำคัญดังนั้น สิ่งสำคัญคือในทุกกรณีจะมีการกำหนดสีของอิฐตัวต่อไป โดยรวม สีของอิฐเหล่านั้นที่ยืนอยู่ใต้มัน ลองนึกถึงว่านายพลจัตวาใช้ประโยชน์ได้อย่างไร


การตัดสิน

แทนสูตร "จำนวน3 = 3 – (จำนวน1 + จำนวน2) "ที่แสดงไว้ในคำแนะนำ 2 เราจะใช้คำที่ง่ายกว่า:"จำนวน3 = – (จำนวน1 + จำนวน2) "ยังไงก็อาจจำเป็นต้องเพิ่ม 3 หรือ -3 ต่อผลลัพธ์ดังนั้นจึงเป็นเรื่องที่ถูกต้องถ้าเราไม่ทำการบวก / ลบสามครั้งนี้ แต่ให้วางไว้ในภายหลัง

สมมติว่าในแถวล่าง (10) มีอิฐที่ตรงกับตัวเลข 10: , , , d, อี, , ก., ชั่วโมง, ผม, J. สูตรของเราช่วยให้คุณสามารถเขียนซีรี่ส์ที่อยู่ด้านบนทั้งหมด (9) โดยทันที:

(แถวที่ 9) – ( + ), -( + ), -( + d), -(d + อี), -(อี + ), -( + ก.), -(ก. + ชั่วโมง), -(ชั่วโมง + ผม), -(ผม + J).

แต่แล้วแถวที่แปดก็เขียนออกมา: เหนือตัวเลข – ( + ) และ – ( + ) ต้องเขียนหมายเลข – (-) = + 2 + . ดังนั้นข้อเสียเปรียบคู่จะลดลงและแถวที่แปดจะเป็น:

(แถวที่ 8) + 2 + , + 2 + d, + 2d + อี, d + 2อี + , อี + 2 + ก., + 2ก. + ชั่วโมง, ก. + 2ชั่วโมง + ผม, ชั่วโมง + 2ผม + J.

เราพิจารณาเพิ่มเติม ตัวเลขของแถวที่เจ็ดมีรูปแบบ – (( + 2 + + + 2 + d) = -( + 3 + 3 + d) ที่นี่อาจถึงเวลาที่ต้องจำไว้ว่าเราตกลงที่จะเลื่อนการเพิ่มและการลบทริปเปิลออกทั้งหมด "สำหรับภายหลัง" และทำเช่นเดียวกันกับข้อกำหนด 3 และ 3, 3 ดังนั้นเราสามารถสันนิษฐานได้ว่าหมายเลขแรกของแถวที่เจ็ดมีค่าเท่ากับ – (a + d) จากนั้นทั้งชุดสามารถเขียนในลักษณะเดียวกัน:

(แถว 7) – ( + d), -( + อี), -( + ), -(d + ก.), -(อี + ชั่วโมง), -( + ผม), -(ก. + J).

ถัดไปเรามีแถวที่ 6 ซึ่งมีการลบลบสองครั้ง:

(แถวที่ 6) + + d + อี, + + อี + , + d + + ก., d + อี + ก. + ชั่วโมง, อี + + ชั่วโมง + ผม, + ก. + ผม + J.

ในจำนวน 5 minuses ปรากฏขึ้นอีกครั้ง (ตามสมาชิกคนแรกแล้วทุกอย่างก็เหมือนกัน):

(แถว 5) – ( + 2 + + d + 2อี + ), -( + 2 + d + อี + 2 + ก.), -( + 2d + อี + + 2ก. + ชั่วโมง), -(d + 2อี + + ก. + 2ชั่วโมง + ผม), -(อี + 2 + ก. + ชั่วโมง + 2ผม + J).

ในแถวที่ 4 จะมีการลดทั้ง minuses และพวงของค่าซึ่งเป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่ 3 แทนค่า + 3 + 3 + 2d + 3อี + 3 + ก. เราจะออกเดินทาง + 2d + ก.:

(แถว 4) + 2d + ก., + 2อี + ชั่วโมง, + 2 + ผม, d + 2ก. + J.

อิฐและกับพวกเขาและการคำนวณก็จะกลายเป็นน้อย:

(แถว 3) – ( + + 2d + 2อี + ก. + ชั่วโมง), -( + + 2อี + 2 + ชั่วโมง + ผม), -( + d + 2 + 2ก. + ผม + J);

(แถว 2) + 2 + + 2d + 4อี + 2 + ก. + 2ชั่วโมง + ผม, + 2 + d + 2อี + 4 + 2ก. + ชั่วโมง + 2ผม + J.

และในที่สุดอิฐในแถวบนสุด:

(แถวที่ 1) – ( + 3 + 3 + 3d + 6อี + 6 + 3ก. + 3ชั่วโมง + 3ผม + J) = -( + J).

ผลลัพธ์นี้หมายความว่าอย่างไร? ว่าสีของอิฐชั้นจะพิจารณาจากผลรวมของสีสองสีจากแถวล่างเท่านั้นคือสีของอิฐสองก้อน นอกจากนี้ยังมีการกำหนดโดยกฎเดียวกันตามที่ผู้สร้างใส่อิฐแต่ละถัดไป: เดียวกันสองสีตรงและอื่น ๆ ที่สองตรงกับที่เหลืออยู่ แน่นอนว่าจวบ – นักคณิตศาสตร์ได้ทำการคำนวณและเรียบง่ายทั้งหมดนี้ (ขึ้นอยู่กับผลสำเร็จ) ล่วงหน้าเพื่อให้ในขณะที่สร้างอิฐสามเหลี่ยมเขาทันทีมองเฉพาะที่อิฐสุดขีดของแถวล่าง


เล่ม

ฉันพยายามที่จะจัดการกับพีชคณิตดั้งเดิมเพื่อรักษาความรู้สึกของ "โฟกัสกัด" ในผู้อ่าน อย่างไรก็ตามตอนนี้ถึงเวลาที่จะเข้าใจสาระสำคัญของการมุ่งเน้นนี้ลึกมากขึ้น

ประการแรกในความรู้สึกบางอย่างคุณสามารถลืม cons เกี่ยวกับที่เราได้เห็น,บรรทัดที่มี minuses และไม่มีพวกเขาเพียงแค่สลับเพื่อให้เราสามารถเข้าใจตั้งแต่เริ่มต้นว่าจะมีลบในบรรทัดด้านบน

ประการที่สองคำย่อของ triples ที่เราใช้ (ครั้งแรกที่เราทำในบรรทัดที่แปด) แม้ว่าจะช่วยลดการคำนวณได้ แต่ก็บดบังสาระสำคัญ ถ้าเราไม่ทำเช่นนี้เราจะเห็นการแสดงออกของรูปแบบในบรรทัดที่เจ็ด + 4 + 6 + 4d + อีในถัดไป – + 5 + 10 + 10d + 5อี + และอื่น ๆ ตัวอักษรในจำนวนนี้ไปตามตัวอักษร แต่ลำดับของตัวเลข 1, 4, 6, 4, 1, 1, 5, 10, 10, 5, 1, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1? ทุกคนมีความรู้ความเข้าใจในวิชาคณิตศาสตร์มากขึ้นหรือน้อยลงในลำดับเหล่านี้ สามเหลี่ยมของ Pascal:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

ในรูปสามเหลี่ยมนี้จำนวนแต่ละจำนวนจะเท่ากับผลรวมของตัวเลขสองตัวที่ยืนสูงกว่าหนึ่งบรรทัด: อยู่เหนือมันและอยู่ติดกับมัน (ด้านซ้าย) โดยตรง อันที่จริงการปรากฏตัวของรูปสามเหลี่ยม Pascal นี้ไม่ควรทำให้เราประหลาดใจ ตัวอย่างเช่นจำนวน 15 เป็นค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ ในแง่ของ + 6 + 15 + 20d + … คือผลรวมของค่าสัมประสิทธิ์ทั้งสองที่ที่ กับ: หนึ่งถูกนำมาจากการแสดงออก + 5 + 10 + 10d + 5อี + และอื่น ๆ จากการแสดงออก + 5 + 10d + 10อี + 5 + ก.. กล่าวอีกนัยหนึ่งนี่คือผลรวมของค่าสัมประสิทธิ์ที่สาม (10) และสอง (5) จากบรรทัดก่อนหน้า

ดังนั้นเราจึงสามารถเข้าถึงบรรทัดที่เราต้องการได้ ค่าสัมประสิทธิ์ในตัวมัน – 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1.และเนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดยกเว้นสองหน่วยมากถูกหารด้วย 3 ซึ่งจะให้ผลลัพธ์ที่ต้องการจาก "โฟกัส"

ตอนนี้คุณสามารถลองใช้ขั้นตอนธรรมชาติอื่นและตั้งคำถาม: สำหรับค่าของความยาวของแถวล่างของอิฐ (ยังไม่มีข้อความ) จะทำงานเคล็ดลับเดียวกัน? เราพบว่ามีอะไรดี ยังไม่มีข้อความ = 10 อื่น ๆ ที่เหมาะสม ยังไม่มีข้อความ = 4 (เราได้เห็นแล้วว่าบรรทัดที่ 1 3 3 1 เทียบเท่ากับผลรวมของสองคำที่รุนแรง) และค่าอะไรบ้าง? ความเทียบเท่าทางคณิตศาสตร์ของคำถามนี้คือ: ภายใต้เงื่อนไขใด ยังไม่มีข้อความ ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมด (ยังไม่มีข้อความ – 1) บรรทัดที่สามของ Pascal ยกเว้นสามส่วนสุดท้ายของ 3? คำถามนี้เป็นเรื่องยากมากขึ้นกว่าปัญหาเดิมของเรา แต่คำตอบสำหรับเรื่องนี้อย่างไรก็ตามสามารถหาได้จากวิธีการทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐาน ยังไม่มีข้อความ – 1 ต้องมีพลังอำนาจสาม กล่าวคือเหมาะสำหรับการโฟกัส ยังไม่มีข้อความ เท่ากับ 28 แล้ว 82, 244, 730 เป็นต้นสำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้รวมถึงปัญหาทั่วไปของปัญหาที่เกิดขึ้นกับจำนวนสีที่แตกต่างกันคุณสามารถอ่านเป็นภาษาอังกฤษได้ในบทความโดย Erhard Berends และ Steve Humble "Triangle Mysteries" PDF, 552 Kb) ซึ่งตีพิมพ์ในวารสารฉบับที่สอง คอมพิวเตอร์เชิงคณิตศาสตร์ สำหรับปี 2556 (doi 10.1007 / s00283-012-9346-4)


Like this post? Please share to your friends:
ใส่ความเห็น

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: