"ยาก" tilings • Khaidar Nurligareev •งานวิทยาศาสตร์ที่เป็นที่นิยมใน "Elements" •คณิตศาสตร์

“ฮาร์ด” tilings

งาน

ง่ายต่อการปูกระเบื้องด้วยกระเบื้องรูปสามเหลี่ยมเหมือนกัน (รูปที่ 1 ซ้าย) โครงการดังกล่าวเหมาะสำหรับรูปสามเหลี่ยมใด ๆ เราสามารถบอกได้ว่าการปูกระเบื้องนี้ "ไม่แข็ง" ในแง่ที่ว่าถ้าเราเปลี่ยนสัดส่วนของรูปสามเหลี่ยมเล็กน้อย (พวกเขายังคงต้องเท่ากัน) จากนั้นเราจะได้รับการปูกระเบื้องอีกครั้งตามรูปแบบนี้ (รูปที่ 1 ขวา)

มะเดื่อ 1

แต่มันเกิดขึ้นในทางที่แตกต่างกัน ดูภาพ 2: ที่นี่, เกินไป, รูปสามเหลี่ยมทั้งหมดมีค่าเท่ากัน, แต่โครงการนี้ใช้ได้กับสัดส่วนเฉพาะของสามเหลี่ยมเท่านั้น. เราสามารถพูดได้ว่าการเอียงดังกล่าวเป็นเรื่อง "หนัก"

มะเดื่อ 2

ก) สมมติว่ารูปสามเหลี่ยมทั้งหมดในรูป 2 เท่ากัน พบ มุมและอัตราส่วนภาพ พิสูจน์มันว่าจากรูปที่พวกเขาได้รับการกำหนดอย่างแจ่มแจ้ง

ข) มาด้วย "ยาก" การปูกระเบื้องของเท่ากันนูนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

c) มาด้วย "ยาก" การปูกระเบื้องของ pentagons เท่ากัน (ไม่จำเป็นต้องนูน)


เคล็ดลับ 1

ก) เพื่อให้ได้เงื่อนไขที่มุมของรูปสามเหลี่ยมต้องเป็นไปตามความพอใจก็จะเพียงพอที่จะใช้ความจริงที่ว่าผลรวมของมุมที่อยู่ติดกับยอดแต่ละจุดคือ 360 ° และเพื่อค้นหาเงื่อนไขในด้านต่างๆจะเป็นประโยชน์ในการพิจารณากลุ่มที่ประกอบขึ้นจากหลาย ๆ ด้านของรูปสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกัน

โปรดสังเกตว่ามุมและด้านข้างไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างอิสระซึ่งกันและกัน ความสัมพันธระหวางมุมและสัดสวนภาพคือแบบตัวต่อตัว ในความเป็นจริงการรู้อัตราส่วนภาพคุณสามารถกำหนดค่าของมุมได้ตามทฤษฎีโคไซน์ และรู้มุมคุณสามารถหาอัตราส่วนโดยทฤษฎีบทไซน์ ดังนั้นเพื่อแก้ปัญหามันพอเพียงที่จะหาเพียงสองสมการที่ด้านข้างหรือมุม


เคล็ดลับ 2

ข), c) แนวคิดพื้นฐานมีดังนี้ เพื่อให้การปูกระเบื้องเป็นเรื่อง "เหนียว" สำเนาของกระเบื้องเดียวกันที่ป้อนจะต้องติดต่อกันและกันได้มากที่สุด แล้วแต่ละวิธีดังกล่าวจะให้สมการบางอย่างสำหรับมุมและด้านข้างและสมการมากขึ้น – องศาน้อยของเสรีภาพ

มีหลายวิธีที่จะพยายามสร้างแผ่นดังกล่าวซึ่งสำเนาของสิ่งเหล่านี้สามารถนำมาประยุกต์ใช้กับแต่ละอื่น ๆ ในรูปแบบต่างๆได้ หนึ่งในนั้นคือการกำหนดข้อ จำกัด บางอย่างเกี่ยวกับกระเบื้อง ตัวอย่างเช่นค้นหาในคลาสของรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านคู่ขนาน หรือระหว่างกระเบื้องที่ด้านข้างเท่ากัน นอกจากนี้คุณควรพิจารณามุมที่แบ่ง 360 °และเป็นทวีคูณของพวกเขา

อีกทางหนึ่งที่เป็นไปได้คือการพยายามใช้ tilings ที่รู้จักกันแล้วเช่นในรูป 3 แล้วคุณจะต้องพยายามที่จะทำให้กระเบื้องใหม่จากกระเบื้องหลายชิ้นหรือกระเบื้องที่มีอยู่ในปูเดิม และเพียงจากสำเนาของกระเบื้องที่เกิดขึ้นเพื่อวาง "ยาก" ปูในรูปทรงของที่ปูเดิมจะเดาได้

มะเดื่อ 3


การตัดสิน

ก) หมายถึงด้านข้างและมุมของกระเบื้องรูปสามเหลี่ยมดังที่แสดงไว้ด้านซ้ายในรูปที่ 4. จากนั้นการพิจารณาส่วนที่เกิดขึ้นจากด้านข้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าสี่เหลี่ยม (ตรงกลางในรูปที่ 4) ช่วยให้เราได้อัตราส่วนกับด้านต่างๆ: + = 2. และมองไปที่ด้านบนซึ่งในสามเหลี่ยมรูปสามเหลี่ยมมาบรรจบกัน (ทางด้านขวาในรูปที่ 4) เราเข้าใจว่า2γ = 180 ° ดังนั้นγ = 90 °นั่นคือรูปสามเหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังนั้นมันจะเป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส: \ (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \)

มะเดื่อ 4

ตอนนี้เพื่อหาความสัมพันธ์ที่ต้องการการคำนวณค่อนข้างง่าย:

\ [(a + c) ^ 2 = 4b ^ 2 = 4 (c-a) (c + a). \]

จากที่นี่เราได้รับ

\ [(a + c) = 4 (ca) \ quad \ Rightarrow \ quad \ dfrac % % = \ dfrac % % \ quad \ Rightarrow \ quad \ dfrac % % \ dfrac % % \]

ดังนั้นมุมของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ \ (\ alpha = \ arcsin \ dfrac % % = \ arcsin \ dfrac % %, \) \ (\ beta = \ arcsin \ dfrac % % = \ arcsin \ dfrac % %, \) \ (\ gamma = 90 ^ {\ circ}. \)

ข) พิจารณาสี่เหลี่ยมคางหมูรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสามเหลี่ยมมุมป์ด้านขวาเท่ากับครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมนี้ (รูปที่ 5 ซ้าย) สำเนาของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูนี้สามารถยึดติดกันได้หลายวิธีเนื่องจากเราต้องการให้ปูผิวทางเป็น "hard" ในการเริ่มต้นเราจำเป็นต้องกำหนดค่าดังกล่าวจากกระเบื้อง trapezoidal ที่กำหนดซึ่งจะกำหนดความสัมพันธ์ของด้านข้างและมุมของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูอย่างแจ่มแจ้ง นี้เป็นเรื่องง่ายที่จะบรรลุ ตัวอย่างเช่นใส่กันตัวเลขของสี่กระเบื้องที่แสดงในรูป 5, เราจะบรรลุความเสมอภาคγ = δ = 90 °, และทำ cross จากแปดกระเบื้องเราได้รับเงื่อนไขα = 45 ° ถ้าจากสามกระเบื้องเพื่อรวบรวมรูปที่แสดงในรูปที่ 5 ด้านขวาแล้วความเท่าเทียมกัน 2 = .

มะเดื่อ 5

ถ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนต่อความเท่าเทียมกันทั้ง 4 ข้างบนแล้วมันก็เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าของเรา ดังนั้นการปูกระเบื้องใด ๆ ที่มีการกำหนดค่าดังกล่าวทั้งหมดจะพบได้อย่างแน่นอนจะพิสูจน์ได้ว่าเป็น "ยาก" ในแง่ที่ว่าตามโครงการเดียวกันจะไม่สามารถพับการปูกระเบื้องจากรูปสี่เหลี่ยมอื่น ๆ ได้ มีความลาดเอียงที่คล้ายกันนับไม่ถ้วน ตัวอย่างเช่นการปูกระเบื้องดังแสดงในรูป 6

มะเดื่อ 6

โปรดทราบว่าแม้ว่าการปูกระเบื้องในรูปที่ 6 ตามคำนิยามของ "ยาก" ของเราเป็นเรื่องง่ายที่จะเปลี่ยนรูป: คุณสามารถย้ายกระเบื้อง,ตั้งอยู่ในแถวแนวนอนหรือแนวตั้งเดียวกันตามเส้นตรงที่ตรงกัน นี้สามารถหลีกเลี่ยงได้โดยการเพิ่มในลักษณะอื่น ตัวอย่างเช่นดังแสดงในรูปที่ 7

มะเดื่อ 7

c) ที่หัวใจของ tilings แสดงในรูปที่ 6 และมะเดื่อ 7 คุณสามารถคาดเดาปาร์เก้มาตรฐานของสี่เหลี่ยม (รูปที่ 3, ขวา) เราจะแสดงให้เห็นว่าในลักษณะที่คล้ายคลึงกันจะได้รับ "ภาพที่ยาก" ของ pentagons แบบ nonconvex โดยใช้การปูกระเบื้องด้วยรูปสามเหลี่ยมมุมปากเป็นพื้นฐาน (รูปที่ 3 ซ้าย) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ให้ใช้กระเบื้องที่ประกอบขึ้นจากรูปสามเหลี่ยมสองรูปแบบปกติและอีกครึ่งหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมดังกล่าว (รูปที่ 8 ซ้าย)

มะเดื่อ 8

เช่นเดียวกับในย่อหน้าก่อนหน้าเราจะระบุการกำหนดค่าสี่อย่างที่กำหนดส่วนที่เรากำลังพิจารณาเฉพาะ พวกเขาจะแสดงในรูป 8. ชุดแรกตั้งค่ามุมε = 90 ° ที่สองช่วยให้คุณสามารถเขียนความสัมพันธ์3γ + 2ε = 360 °และเนื่องจากมุมεได้รับการแก้ไขแล้วเราจะได้รับγ = 60 ° ในทำนองเดียวกันการกำหนดค่าที่สามให้ความเท่าเทียมα + ​​γ + 3ε = 360 °, จากไหนα = 30 ° สุดท้ายการกำหนดค่าหลังช่วยให้เราเข้าใจว่าβ + 2γ = 360 °นั่นคือβ = 240 ° สำหรับมุมδจะพิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของมุมของรูปห้าเหลี่ยมคือ 540 °และδ = 120 °

มะเดื่อ 9

ปรากฎว่าเฉพาะการกำหนดค่าที่แสดงไว้ตรงกลางในรูป 8 พอสำหรับความเสมอภาค = อี = = d. ดังนั้นการกำหนดค่าสี่อย่างข้างต้นจึงกำหนดให้เป็นรูปห้าเหลี่ยมโดยเฉพาะ ดังนั้นจะยังคงให้ตัวอย่างของการปูกระเบื้องที่มีทั้งหมดของพวกเขา เมื่อสร้างเสร็จแล้วแนวคิดในการสร้างแถบจะช่วยให้: ก่อนอื่นด้วยสำเนาของกระเบื้องเราจะสร้างแถบอนันต์ที่สามารถนำไปใช้กับตัวเองได้ (รูปที่ 9) จากนั้นเราจะครอบคลุมทั้งเครื่องบินด้วยลายเส้น (รูปที่ 10) เราทราบความต้องการใช้งานกว้างของแนวคิดในการออกแบบแถบ: โครงสร้างแบบ "striped" ที่คล้ายกันมีทั้ง tilings ซึ่งเราสร้างขึ้นเมื่อแก้ไขจุด ข)และโดยทั่วไปใด ๆ ที่ปูเป็นระยะ ๆ ในความเป็นจริงถูกสร้างขึ้นจากวงดนตรี อย่างไรก็ตามกรณีนี้ไม่ได้ จำกัด อยู่ที่การจับสลิงเป็นระยะ ๆ (ตามที่สามารถสังเกตได้ตัวอย่างเช่นในปัญหา Polamimina Parqueta)

มะเดื่อ 10

ในตัวอย่างของเรากระเบื้องไม่ได้เป็นนูน แต่อย่างนี้ไม่จำเป็นอย่างยิ่งในการสร้าง "ปูแข็ง" พิจารณาไพ่ห้าเหลี่ยมที่แสดงในรูป 11 – ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสองรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมเล็ก 22.5 องศาปรากฎว่าสำเนาของกระเบื้องดังกล่าวสามารถเรียงต่อกันได้ในระนาบ "ยาก" ตามที่แสดงไว้ด้านขวาในรูป 11. จริงนี่เป็นเรื่องยากที่จะพิสูจน์ได้ยากกว่า "ความแข็งแกร่ง" ของ tilings ที่เราได้พบมาก่อนหน้านี้ อย่างไรก็ตามให้เราสรุปประเด็นหลัก ๆ ของหลักฐานนี้

มะเดื่อ 11

ประการแรกจากโครงการตามที่ไพ่จะซ้อนกันเป็นที่ชัดเจนว่าทั้งสองฝ่ายตอบสนองความสัมพันธ์ = อี = และ = + d. สำหรับมุมนั้นสมการทั้งสี่สามารถถูกรวบรวมไว้ได้จากที่เห็นได้ชัดว่าα = γ, δ = ε, β + δ = 180 °และβ + 180 ° = 2γ ดังนั้นโดยการป้อนมุมφ = δ / 2 เราสามารถแสดงมุมอื่น ๆ ผ่าน:

\ {\ circ} – \ varphi, \ quad \ beta = 180 ^ {\ circ} -2 \ varphi, \ quad \ gamma = 180 ^ {\ circ} – \ varphi, \ quad \ delta = 2 \ varphi, \ quad \ varepsilon = 2 \ varphi \]

ตอนนี้แนวคิดหลักมีดังต่อไปนี้ สำหรับการปูกระเบื้องที่จะ "ยาก" มันเป็นสิ่งจำเป็นที่เขาขาดองศาของเสรีภาพ ปัจจุบันกระเบื้องของเรามีสองพารามิเตอร์ที่เราสามารถเปลี่ยนแปลงได้ ได้แก่ มุมφและอัตราส่วนภาพ และ d. อย่างไรก็ตามการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ไม่สามารถ arbitrary เนื่องจากพารามิเตอร์มีความสัมพันธ์กัน ถ้าหลังจากการวิเคราะห์ลักษณะของการเชื่อมต่อนี้เราจะแสดงให้เห็นว่ามีเพียงจำนวน จำกัด ของมุมที่เป็นไปได้และอัตราส่วนภาพสำหรับโครงร่างนี้เท่านั้นแล้วจะปฏิบัติตามทันทีว่าการปูกระเบื้องที่ต้องการคือ "แข็ง"

เราแนะนำสัญกรณ์ดังที่แสดงไว้ในรูปซ้ายล่าง 11. เพราะ CDEF – trapezium รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแล้วฐาน

\ (CF = a-2a \ cos2 \ varphi = a (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \).

ดังนั้นเราสามารถหาอัตราส่วนของกลุ่มได้ และ dแสดงส่วน BF โดยทฤษฎีโคไซน์ในรูปสามเหลี่ยม รวมอาหารเช้า และ CBF:

\ [BF ^ 2 = d ^ 2 + d ^ 2-2d ^ 2 \ cos (180 ^ {\ circ} – \ varphi) = a ^ 2 + a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) ^ 2-2a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos \ varphi \]

การเปลี่ยนเราได้รับ

\ [\ dfrac {d ^ 2} {a ^ 2} = 5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi. \]

ในทางกลับกันเราสามารถหาอัตราส่วนของกลุ่มได้ และ dแสดงส่วน ไฟฟ้ากระแสสลับ โดยทฤษฎีโคไซน์ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซี และ เอเอฟซี:

\ [AC ^ 2 = a ^ 2 + d ^ 2-2ad \ cos (180 ^ {\ circ} -2 \ varphi) = \ d ^ 2 + a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi ) ^ 2-2ad (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos2 \ varphi \]

ถ้า \ (\ cos2 \ varphi \ ne0 \) นั่นคือถ้ารูปห้าเหลี่ยมต่างจากของเราเรามาถึงความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

\ [\ dfrac % % = \ dfrac {2 \ cos ^ 2 \ varphi-1}} {2 \ cos ^ 2 \ varphi-1} = – \ dfrac {2 \ sin ^ 2 \ varphi} {\ cos2 \ varphi} \]

โดยเฉพาะอย่างยิ่งจะเห็นได้จากที่นี่ว่านี่เป็นไปได้เฉพาะกับ \ (\ cos2 \ varphi <0 \) และ

\ [5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi = \ dfrac {4 (\ cos ^ 2 \ varphi-1) ^ 2} {(2 \ cos ^ 2 \ varphi-1) ^ 2} \]

สมการสุดท้ายสามารถมีได้เพียงจำนวน จำกัด ของการแก้ปัญหา ดังนั้นปูในคำถามคือ "ยาก."


เล่ม

ทั้งหมด tilings กล่าวข้างต้นเป็นส่วนหนึ่งของงานนี้โดยทั่วไปใช้กระเบื้องเหลี่ยมเดียว เราคัดลอกแผ่นงานนี้แล้วครอบคลุมทั้งเครื่องบินด้วยสำเนาโดยไม่มีช่องว่างและภาพซ้อนทับ tilings ดังกล่าวเรียกว่า monoedralnymiและรูปหลายเหลี่ยมต้นแบบคือ protoplitkoy. อย่างที่เราเคยเห็นมาแม้จะมีข้อห้ามในการใช้กระเบื้องประเภทต่างๆ แต่ภาพที่ได้ก็มีความหลากหลายมาก ในหลาย ๆ กรณีการจับคู่กับ protoplite นี้กลายเป็นจำนวนอนันต์ยิ่งกว่านั้นอีกด้วย – จำนวนที่ไม่สามารถนับได้ ในเวลาเดียวกันสำหรับ protoplices อื่น ๆ (เช่นพูดสำหรับหกเหลี่ยมปกติ), การปูกระเบื้องเป็นเอกลักษณ์และ protoplits บางอย่างไม่อนุญาตให้ปูกระเบื้องที่ทั้งหมด

จะเป็นเรื่องธรรมดาที่จะถามว่ารูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดให้เข้าใจว่าเป็นไปได้ไหมที่จะติดตั้งเครื่องแบบด้วยเครื่องบิน อย่างไรก็ตามอัลกอริธึมที่จะตอบคำถามนี้ได้รับกระเบื้องที่ทางเข้าและผลลัพธ์ที่ได้คือ "ใช่" หรือ "ไม่" ไม่เป็นที่รู้จักของมนุษยชาติ นอกจากนี้ยังมีเหตุผลที่ร้ายแรงที่จะสงสัยว่ามีอยู่จริง เราจะพูดถึงสั้น ๆ ว่าอาจรบกวนการทำงานนี้บ้าง สำหรับเรื่องนี้จะเป็นประโยชน์อย่างน้อยเผินๆทำความคุ้นเคยกับกลุ่มของสมมาตรของ tilings

สมมาตร การปูกระเบื้องนี้เรียกว่าการเคลื่อนไหวของเครื่องบินซึ่งแปลว่าการปูกระเบื้องนี้เป็นตัวเอง พูดประมาณถ้าคุณมองไปที่เอียงเป็นเวลานานแล้วหันไป,แต่คนที่อยู่เบื้องหลังคุณย้ายกระเบื้องทั้งหมดเพื่อให้ประการแรกระยะทางระหว่างกระเบื้องจะถูกเก็บรักษาไว้และประการที่สองคุณหันไปรอบ ๆ และคุณไม่สามารถหาสิ่งที่แตกต่าง – นี่คือสมมาตร ถ้าในกลุ่มของสมมาตรทั้งหมดของการปูกระเบื้องมีการแปลแบบขนานที่ไม่ได้รับการจับคู่สองแบบการปูกระเบื้องนี้เรียกว่า เป็นระยะ. ตัวอย่างเช่น tilings ในมะเดื่อ 6, 7, 10 และ 11 และแน่นอนว่าทุกๆมุมมองที่เรากำลังพูดถึงกันอยู่ อย่างไรก็ตามในตัวอย่างเหล่านี้ทั้งหมดมันเป็นเรื่องง่ายที่จะจัดเรียงกระเบื้องเพื่อให้คุณสมบัตินี้ไม่ถูกต้องอีกต่อไป

การเอียงแบบเป็นระยะมีลักษณะการปรากฏตัวของสิ่งที่เรียกว่า พื้นที่พื้นฐาน – เช่นชุดย่อยของกระเบื้องที่ทุกปูสามารถรับได้โดยการถ่ายโอนแบบขนานของเซตย่อยนี้ (นี่เป็นเพียง "วงดนตรี" ของเราที่กล่าวถึงในการตัดสินใจ) ดังนั้นการพยายามตอบคำถามเกี่ยวกับว่าเป็นไปได้ไหมที่จะปูพื้นทั้งลำด้วยสำเนาของ protoplica นี้เป็นเรื่องปกติที่จะทำดังนี้ มันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะต้องผ่านทุกทางเลือกที่เป็นไปได้ร่วมกระเบื้องกับแต่ละอื่น ๆ และถ้าในบางจุดพื้นที่พื้นฐานปรากฏแล้วมีการปูกระเบื้องและถ้าเราแสดงตัวเลือกทั้งหมด แต่เราไม่พบพื้นที่พื้นฐานแล้วโปรโต – กระเบื้องนี้ไม่อนุญาตให้ปูกระเบื้อง

อย่างไรก็ตามวิธีการค้นหานี้มีข้อเสียเปรียบอย่างมาก ทันใดนั้น protoplica ของเราก็กลายเป็น สม่ำเสมอนั่นคือเป็นไปได้ที่จะปูพื้นผิวทั้งหมดด้วยสำเนาของมัน แต่สิ่งเหล่านี้ล้วนเป็นแบบไม่เป็นระยะ? จากนั้นทุกวิธีที่จะเข้าร่วมกระเบื้องด้วยกันเราจะไม่ผ่านเพราะพวกเขาสามารถครอบคลุมชิ้นส่วนขนาดใหญ่โดยพลการ แต่เราจะไม่สามารถหาพื้นที่พื้นฐานได้เช่นกันเนื่องจากไม่มีการเอียงแบบเป็นระยะ ๆ ดังนั้นเราจะไปถึงตัวเลือกที่ไม่มีที่สิ้นสุดและไม่เคยหยุดนิ่ง

ไม่ว่าจะเป็นโปรโตพลาสต์ในเวลาไม่กี่วัน สมมุติฐานของ conway ยังไม่ได้พิสูจน์ ดังนั้นยังคงมีความเป็นไปได้ที่อัลกอริทึมข้างต้นจะช่วยให้เราสามารถตอบคำถามว่าจะสร้างปูบนพื้นฐานของโปรโตไทป์ได้หรือไม่ อย่างไรก็ตามในพื้นที่สามมิติสมมติฐานเดียวกันได้รับการแก้ไขในเชิงบวกและบนเครื่องบิน Lobachevsky ด้วย นอกจากนี้ยังมีค่าใช้จ่ายในการเพิ่มจำนวน protoplices ที่ใช้ไปเป็น 2 อันเนื่องจากเราค้นพบตัวอย่างชุด aperiodic ที่มีชื่อเสียงเช่น Penrose mosaic (รูปที่ 12)

มะเดื่อ 12 โมเสค Penroseภาพจาก ru.wikipedia.org

ถ้าไม่มีความแน่นอนว่ามันเป็นไปได้เสมอที่จะเข้าใจได้จากกระเบื้องที่ระบุไม่ว่าจะเป็นการยอมรับการปูพื้นผิวของเครื่องบินหรือไม่คุณควรลองพิจารณากรณีทั่วไปและกำหนดข้อ จำกัด ของ protoplica ก่อนอื่นเราสมมุติว่าทุกรูปหลายเหลี่ยมที่ประกอบขึ้นเป็นส่วนโค้ง เงื่อนไขนี้จะค่อนข้างแข็งแรง: ปรากฎว่าจำนวนด้านของโปรโต – กระเบื้องที่ยอมรับว่าปูไม่เกิน 6 อย่างไรก็ตามปัญหาร้ายแรงเกิดขึ้นที่นี่ด้วย

มะเดื่อ 13

ง่ายต่อการตรวจสอบให้แน่ใจว่าทั้งเครื่องบินสามารถปกคลุมด้วยสำเนาของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ รวมทั้งสำเนาของจัตุรัสได้โดยไม่ต้องมีเงื่อนไขนูน (รูปที่ 13) อย่างไรก็ตามด้วยรูปห้าเหลี่ยมทุกอย่างไม่ง่ายนัก การศึกษาเรื่อง monolades tilings โดย pentagons มีประวัติอันยาวนานและถึงแม้จะไม่มีความเชื่อมั่นอย่างสมบูรณ์ว่างานนี้ได้พบข้อสรุปเชิงตรรกะแล้ว เห็นได้ชัดว่า Carl Reinhard เป็นคนแรกที่จัดประเภทในปีพ. ศ. 2461 เน้นย้ำถึงห้าเหลี่ยมรูปห้าเหลี่ยม (รูปที่ 14) แต่ละประเภทมีลักษณะเงื่อนไขบางอย่างที่ด้านข้างและมุมซึ่งเหลือ แต่มีความเป็นอิสระบางอย่าง – ความลาดเอียงทั้งหมดนี้ "ไม่แข็ง"ครึ่งศตวรรษต่อมาในปี พ.ศ. 2511 ริชาร์ดเคิร์ชเนอร์ได้แจ้งให้โลกทราบเกี่ยวกับการค้นพบรูปแบบอื่น ๆ อีกสามรูปแบบโดยอ้างว่ามีแปดประเภททุกอย่างที่เหนื่อยล้า อย่างไรก็ตามเขาผิด: ในปี 1975 ริชาร์ดเจมส์หลังจากอ่านบทความจากนักวิทยาศาสตร์ชื่อดังอย่าง Martin Gardner พบว่าอีกประเภทหนึ่ง แต่ความสำเร็จที่เกิดขึ้นจริงในอีกสองปีข้างหน้านี้เกิดจากแม่บ้าน Marjorie Rice ผู้อ่านบทความเดียวกันเธอสามารถค้นพบรูปแบบ monohedral tilings ได้มากถึงสี่รูปแบบด้วย pentagons แบบนูน

มะเดื่อ 14 15 monohedral tilings ของเครื่องบินโดย pentagons รูปภาพจาก forbes.com

เรื่องนี้ไม่ได้จบลงที่นั่น: ทางเท้าที่สิบสี่ถูกพบโดย Rolf Stein ในปี 1985 ซึ่งแตกต่างจากสิ่งที่กล่าวมาก่อนหน้านี้คือ "ยาก" สามสิบปีต่อมากลุ่มนักวิจัยซึ่งประกอบด้วย Casey Mann, Jeniffer MacLeod และ David von Durey ใช้คอมพิวเตอร์คำนวณหาทางเดินที่สิบห้าซึ่งยังไม่มีอิสรภาพ ในที่สุดในปีพ. ศ. 2560 ไมเคิลราวได้แสดงให้เห็นว่าไม่มีการควบคุมแบบห้าเหลี่ยมอื่น ๆ อย่างไรก็ตามเพื่อพิสูจน์ว่า Rao ใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่เขียนเป็นพิเศษซึ่งทำให้เกิดความสงสัยบางอย่างในส่วนของชุมชนวิทยาศาสตร์แม้ว่าจะได้ทำซ้ำและตรวจสอบแล้วก็ตาม

อีกวิธีหนึ่งในการจำแนก monohedral tilings ขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่าเรามุ่งเน้นไปที่คุณสมบัติของกระเบื้องที่เกี่ยวกับกลุ่มสมมาตร ถ้ามีสองกระเบื้องในทางเท้ามีสมมาตรที่ใช้กระเบื้องแรกที่สองแล้วเช่นปูเรียกว่า isohedral. โดยทั่วไปเรากล่าวว่าการซ้อน K-isohedralถ้าชุดของกระเบื้องจะถูกแบ่งออกเป็น k เรียนภายใต้การกระทำของกลุ่มสมมาตร ตัวอย่างเช่น tilings ในมะเดื่อ 13 เป็นแบบที่ไม่เหมือนใครเนื่องจากกระเบื้องแต่ละชิ้นสามารถเปลี่ยนเป็นแบบอื่นได้โดยการโอนแบบขนาน (เช่นกระเบื้องจะทาสีเป็นสีเดียว) หรือโดยการหมุน (เช่นกระเบื้องจะทาสีด้วยสีที่ต่างกัน) และปูบนข้าว 11 มีอยู่แล้ว 2-isohedraled: กระเบื้องสีเหลืองสามารถเปลี่ยนเป็นกันเพื่อให้การปูกระเบื้องเป็นตัวเองรวมทั้งเป็นกระเบื้องสีฟ้าสามารถโอนเข้าสู่กัน แต่กระเบื้องสีฟ้าไม่สามารถโอนไปสีเหลือง ส่วนอื่น ๆ ที่เราเห็นในโซลูชันนี้ก็มี k-isohedral สำหรับที่แตกต่างกัน k. เมื่อต้องการดูสิ่งนี้เราวาดภาพเพื่อให้กระเบื้องสามารถแปลเข้ากันได้โดยใช้สมมาตรที่ปูกระเบื้องแล้วและเฉพาะเมื่อเมื่อพวกเขาจะทาสีในสีเดียว (เช่นเดียวกับการปูของสภาพซึ่งขณะนี้เราเข้าใจเป็น 3 isohedral) เมื่อทำเช่นนี้เราจะเห็นว่าสำหรับหนึ่งในนั้น k = 8 (รูปที่ 15, ซ้าย) สำหรับสอง k = 16 (รูปที่ 15, ด้านขวา) และสำหรับส่วนที่สาม k = 10 (รูปที่ 15 ด้านล่าง)

มะเดื่อ 15

Isohedral tilings โดยรูปหลายเหลี่ยมสามารถแบ่งได้ ดังนั้นทุกอย่างสามารถใช้ได้:

  • 14 ปูกระเบื้องสามเหลี่ยม isohedral,
  • 56 การปูกระเบื้องด้วยรูปทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้าแบบอินูแคร์
  • การปูกระเบื้องด้วยไม้กางเขนแบบอิออน
  • การปูกระเบื้องด้วยกระเบื้องอิออน

โดยทั่วไปพวกเขาจะ "ไม่แข็ง" (ดังแสดงในการปูกระเบื้องในรูปที่ 13) แต่บางส่วนของพวกเขาในระหว่างการเสียรูปจะกลายเป็น isohedral ตัวอย่างเช่นการปูกระเบื้องเป็นรูปมะเดื่อ 16: เราสามารถเลื่อนแถบแนวนอนที่สัมพันธ์กับแต่ละอื่น ๆ ได้ แต่หลังจากนั้นรูปสามเหลี่ยมที่มีฐานในแนวนอนไม่สามารถแปลงเป็นรูปสามเหลี่ยมกับฐานที่เอียงโดยสมมาตร

มะเดื่อ 16

จัดประเภท k– การตัดต่อแบบ isohedral ด้วย k > 1 เป็นไปได้ อย่างไรก็ตามเช่นเดียวกับ tilings กับกระเบื้องที่ไม่ใช่นูนนี้มีความซับซ้อนมากขึ้นและแล้วกรณีของ tilings 2-isohedral กลายเป็นเรื่องยากที่จะมองเห็นเนื่องจากจำนวนมากของตัวเลือกสาขา และเกี่ยวกับคุณค่าที่ยิ่งใหญ่ k เราจะไม่พูด


Like this post? Please share to your friends:
ใส่ความเห็น

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: