V = S = P • Nikolay Avilov •ปัญหาเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์ยอดนิยมในหัวข้อ "องค์ประกอบ" •คณิตศาสตร์

V = S = P

งาน

มีอยู่ไหม เป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนที่มีค่าตัวเลขของปริมาตรพื้นที่ผิวและผลรวมของความยาวของขอบทั้งหมดหรือไม่?


ช่วย

รูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวมีอยู่ตัวอย่างเช่นในปริซึมที่ถูกต้อง


การตัดสิน

ตามคำแนะนำให้มองหาปริซึมที่เหมาะสม ปริซึมที่ถูกต้องจะถูกกำหนดโดยจำนวน n ด้านของรูปหลายเหลี่ยมฐาน และสูง ชั่วโมง.

ผลรวมของความยาวของขอบทั้งหมดคือ:

\ [P = 2na + nh. \]

เนื่องจากรูปหลายเหลี่ยมฐานเป็นปกติพื้นที่ของมันเป็นเรื่องง่ายที่จะหาคือ \ (\ frac14na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n \) ตอนนี้มันเป็นเรื่องง่ายที่จะหาส่วนที่เหลือของปริซึมพารามิเตอร์ที่ปรากฏในปัญหา

ปริมาณของมัน V เท่ากับ:

\ [V = \ frac14na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n \ cdot h. \]

พื้นที่ผิว S เท่ากับ:

\ [S = \ frac12na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n + nah. \]

ออกจากความเสมอภาค V = S เราพบว่า \ (a \ cdot \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n = \ frac % {h-2} \) ด้วยเหตุนี้ ชั่วโมง > 2 นอกจากนี้คุณยังสามารถเขียนนิพจน์สำหรับไดรฟ์ข้อมูลในรูปแบบ \ (V = \ frac14na \ cdot \ frac % {h-2} \ cdot h = \ frac {nah ^ 2} {h-2} \)

ออกจากความเสมอภาค V = P ความสัมพันธ์ \ (a = \ frac {h ^ 2-2h} {h ^ 2-2h + 4} \) และ

\ (\ mathrm % \, \ frac {\ pi} n = \ frac % {a (h-2)} = \ frac {4 (h ^ 2-2h + 4)} {(h-2 ) ^ 2} = 4 + \ frac % {(h-2) ^ 2}. \)

เป็นที่ชัดเจนว่าฟังก์ชัน \ (f (x) = \ frac % {(x-2) ^ 2} \) ในช่วง \ ((0; \; {+ \ infty}) \) ใช้ค่าบวกทั้งหมด (และ ไม่มีอื่น ๆ ) ดังนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของที่ต้องการสำหรับปริซึมคือ: การปฏิบัติตามความไม่เสมอภาค \ (\ mathrm % \, \ frac {\ pi} n> 4 \) ซึ่งเป็นจริงสำหรับ \ (n> 12 \)


เล่ม

ลองดูสิ่งที่เกิดขึ้นในสถานการณ์คล้ายคลึงกันบนเครื่องบิน ตัวอย่างเช่นในสี่เหลี่ยม 4 × 4 ค่าตัวเลขของพื้นที่และเส้นรอบวงจะเหมือนกัน คุณสมบัติเดียวกันนี้มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 3 × 6 และรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา 5 และ 12 (รูปที่ 1)

มะเดื่อ 1

ดังที่คุณทราบแล้วรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าไม่ได้เป็นรูปทรงแข็ง: ถ้าคุณวางบานพับไว้บนยอดเขาจะไม่ได้รับการแก้ไขด้วยตนเอง (ตัวอย่างเช่นเกิดขึ้นในกรณีของรูปสามเหลี่ยมหรือจัตุรมุข) การใช้นี้จะแสดงให้เห็นว่ามีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีค่าเท่ากันของพื้นที่และปริมณฑล คุณสามารถหารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่กว้างกว่าเส้นรอบวงได้ง่าย: สี่เหลี่ยมผืนผ้าด้าน 8 และ 5 จะพอดีถ้าคุณค่อยๆย่อมุมขวาของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจาก 90 °เป็น 0 °จากนั้นสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนทันที และประการที่สองพื้นที่ของมันจะลดลงอย่างต่อเนื่องจาก 40 เป็น 0 และในบางจุดจะมีค่าเท่ากับ 26 ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมที่จำเป็น กระบวนการนี้แสดงในรูปแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้า (รูปที่ 2) เป็นที่ชัดเจนว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนดังกล่าวเป็นจำนวนอนันต์

มะเดื่อ 2

เราแสดงให้เห็นว่ามีรูปสามเหลี่ยมแบบอนันต์ซึ่งค่าตัวเลขของพื้นที่และปริมณฑลมีค่าเท่ากันเราแบ่งรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดลงในแต่ละชั้นซึ่งมีรูปสามเหลี่ยมคล้ายกันทั้งหมด ปรากฎว่าในแต่ละชั้นนั้นมีรูปสามเหลี่ยมซึ่งค่าตัวเลขของพื้นที่และปริมณฑลเท่ากับ พิจารณาหนึ่งในสามเหลี่ยมของชั้นเรียน ให้พื้นที่ของมันเป็น S1และปริมณฑลคือ P1แล้วรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันมีค่าสัมประสิทธิ์ k มีพื้นที่ S2 = k2S1 และปริมณฑล P2 = KP1. ถ้าเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของความคล้ายคลึงกันใช้เวลา k = P1/S1จากนั้นเราจะได้รูปสามเหลี่ยมด้วย \ (S_2 = P_2 = \ frac {P_1 ^ 2} (S_1} \) สิ่งที่จำเป็นต้องใช้

ตัวอย่างเช่นให้ใช้รูปสามเหลี่ยมอียิปต์ ปริมณฑลของมันคือ \ (P_1 = 3 + 4 + 5 = 12 \) และพื้นที่ \ (S_1 = \ frac12 \ cdot3 \ cdot4 = 6 \) รูปสามเหลี่ยมคล้ายคลึงกับค่าสัมประสิทธิ์ที่คล้ายคลึงกัน 2 จะมีคุณสมบัติที่ระบุ: เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมปากที่มีขา 6 และ 8 (รูปที่ 3 ซ้าย) นอกจากนี้ยังสามารถพิจารณารูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ในบรรดาคุณสมบัติจำเป็นต้องมีรูปสามเหลี่ยมด้าน \ (4 \ sqrt % \): พื้นที่และปริมณฑลเท่ากับ \ (12 \ sqrt % \)

มะเดื่อ 3

การโต้เถียงในลักษณะเดียวกันก็สามารถแสดงให้เห็นว่าในแต่ละชั้นของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกันมีค่าที่เป็นตัวเลขของพื้นที่และปริมณฑลเท่ากัน

ในพื้นที่สามมิติเป็นเรื่องธรรมดาที่จะเพิ่มเงื่อนไขความเท่าเทียมกันของปริมาตรเช่นเดียวกับที่ได้ทำในแถลงการณ์ของปัญหาจากการแก้ปัญหาก็เป็นที่ชัดเจนว่าไม่ทุก "ประเภท" ของ polyhedron ช่วยให้ความเท่าเทียมกันของปริมาณพื้นที่ผิวและความยาวรวมของขอบ: หมู่ที่ถูกต้อง nปริซึมคาร์บอน n <12 ไม่มีเลย

โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่มีก้อนดังกล่าวและรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า parallelepiped (เพราะเหล่านี้เป็นปริซึมสี่เหลี่ยม) สำหรับ polyhedra ดังกล่าว แต่มันเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบหัวเมื่อ ตัวอย่างเช่นสำหรับลูกบาศก์จะทำเช่นนี้ ลูกบาศก์ที่มีขอบ มีไดรฟ์ข้อมูล V = 3พื้นที่ผิว S = 62 และผลรวมของความยาวขอบ P = 12. ถ้า S = Pแล้ว 62 = 12นั่นคือ = 2 แต่แล้ว S = P = 24 และ V = 8.

อย่างไรก็ตามสำหรับ polyhedra บางเหตุผลคล้ายกับสามเหลี่ยมอาจทำงานได้ ถ้าเราพิจารณารูปทรงหลายเหลี่ยมแบบนี้แล้วผลรวมของความยาวของขอบจะแตกต่างกันไปตามสัดส่วนของสัมประสิทธิ์ของความคล้ายคลึงกันในระดับแรกพื้นที่ผิวจะเป็นสัดส่วนกับองศาที่สองและปริมาตรจะเป็นสัดส่วนกับองศาที่สาม นั่นคืองานลดลงสำหรับคำถามนี้: ทำบรรทัดที่สอดคล้องกันพาราโบลาและก้อนตัดกันที่จุดหนึ่ง? การเปลี่ยนรูปร่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมในสูตรดังกล่าวสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงของเส้นโค้งเหล่านี้ในระนาบและเห็นได้ชัดว่าในบางกรณีสามารถวางตำแหน่งไว้เพื่อให้ตัดกันได้ในจุดหนึ่ง แต่เป็นไปได้อย่างใดอธิบาย polyhedra ที่เกี่ยวข้องทั้งหมดหรือไม่ … ถ้าคุณมีความคิดในเรื่องนี้ – เขียนในความเห็นปัญหา!


Like this post? Please share to your friends:
ใส่ความเห็น

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: